sviluppo Eseguire il raccoglimento a fattor comune fin dove possibile     1 +x +x2 +x3 +x4 +x5 +x6 +......+x2n +x2n+1 +x2n+2 +x2n+3 +.......... = E' una serie considero i termini 2 a 2 (1 +x) +(x2 +x3) +(x4 +x5) + (x6 +x7)+.....+(x2n +x2n+1) +(x2n+2 +x2n+3) +.......... = in ogni gruppo posso lasciare dentro parentesi 1+x e posso estrarre 1, x2, x4........x2n, x2n+2,.... (1 +x) +x2(1+x) +x4(1 +x) + x6(1 +x)+.....+x2n(1+x) +x2n+2(1+x) +.......... = ora raccolgo fra tutti (1+x) ed ottengo = (1 +x) (1 + x2 +x4 +x6 + ......+x2n +x2n+2 +.......... ) = ripeto il procedimento fatto prima per i termini entro la seconda parentesi tonda esplicitando (1+x2) considero i termini 2 a 2 =(1 +x) [(1 + x2) +(x4 +x6) +(x8 +x10)+ ......+(x2n +x2n+2)+.......... ] = ho aggiunto qualche termine per vedere meglio in ogni gruppo posso lasciare dentro parentesi 1+x2 e posso estrarre 1, x4, x8........x2n,.... (1 +x)[1(1+x2) +x4(1+x2) + x8(1+x2)+.....+x2n(1+x2) +.......... = ora, dentro prentesi quadra raccolgo fra tutti (1+x2) ed ottengo = (1 +x) (1 + x2) (1 +x4 +x8 + ......+x4n +x4n+4 +.......... ) = ho messo il termine generico come x4n perche' tutti i temini entro la terza parentesi hanno esponente multiplo di 4 (4·0; 4·1 4·2 ;....) ripeto il procedimento fatto prima per i termini entro la terza parentesi tonda esplicitando (1+x4) ............................... ............................... ............................... ripetendo il procedimento all'infinito ottengo = (1+x)(1 + x2)(1 + x4)(1 + x8)·..........·(1+x2n)· ......... il termine generico viene indicato come (1+x2n) perche' se metti ad n i valori 0,1,2,3,4, ottieni tutti i termini del prodotto 1+x20 = 1+x1 = 1+x 1+x21 = 1+x2 1+x22 = 1+x4 1+x23 = 1+x8 1+x24 = 1+x16