sviluppo Calcolare le soluzioni del seguente sistema con il metodo di addizione     (a - b)x - (a + b)y = 2a2     (a + b)x - (a - b)y = 2ab devo rendere due termini verticali contenenti l'incognita uguali e di segno contrario, cosi', sommandoli, spariscono: per redere uguali i coefficienti delle x moltiplico la prima equazione per (a+b) e la seconda per -(a-b)     (a - b)(a + b)x - (a + b)2y = 2a2(a + b)     -(a + b)(a - b)x + (a - b)2y = -2ab(a - b) sommo in verticale      (a - b)(a + b)x   - (a + b)2y  =   2a2(a + b)   +     -(a + b)(a - b)x   + (a - b)2y  =   -2ab(a - b)                   //        -(a+b)2y+(a-b)2y = 2a2(a+b)-2ab(a-b) ho trovato l'equazione    -(a + b)2y + (a - b)2y = 2a2( a + b) - 2ab( a - b) calcolo i quadrati ed i prodotti    -a2y - 2aby - b2y + a2y - 2aby + b2y = 2a3 + 2a2b -2a2b + 2ab2 elimino i termini uguali e di segno opposto     - 2aby - 2aby = 2a3 + 2ab2 sommo i termini simili     - 4aby = 2a(a2 + b2) cambio di segno per avere l'incognita con segno positivo     4aby = -2a(a2 + b2) Per trovare y devo applicare il secondo principio dividendo per 4ab ma chi mi assicura che ab sia non nullo? Devo quindi distinguere: Se ab≠0 posso applicare il secondo principio ed ottengo        y = -2a(a2 + b2) 4ab semplifico        y = - a2 + b2 2b Devo considerare il caso ab=0, che significa a=0 e b=0 oppure a=0 e b≠0 oppure a≠0 e b=0 considero i 3 casi se a=0 e b=0 sostituisco ed ottengo     2·0·0·x = -2·0(02 + 02)     0x = 0 e l'equazione e' indeterminata se a=0 e b≠0 sostituisco ed ottengo     4·0·by = -2·0(02 + b2)     0y = 0 e l'equazione e' indeterminata se a≠0 e b=0 sostituisco ed ottengo     4a·0·y = -2a(a2 + 02)     0y = -4a3 ed essendo a≠0 l'equazione e' impossibile per trovare il valore della x rendo uguali i coefficienti delle y moltiplicando la prima per (a-b) e la seconda per -(a+b)     (a - b)2)x - (a + b)(a - b)y = 2a2(a - b)     -(a + b)2x + (a + b)(a - b)y = -2ab(a + b) sommo verticalmente      (a - b)2x   - (a + b)(a - b)y  =   2a2(a - b)   +     -(a + b)2x   + (a + b)(a - b)y  =   -2ab(a + b)         (a-b)2x-(a+b)2x          //         = 2a2(a-b)-2ab(a+b) Ho l'equazione    (a - b)2x - (a + b)2x = 2a2( a - b) - 2ab( a + b) Eseguo i quadrati ed i prodotti    a2x - 2abx + b2x - a2x - 2abx - b2x = 2a3 - 2a2b -2a2b - 2ab2 elimino i termini uguali e di segno contrario     -2abx - 2abx = 2a3 - 2a2b - 2a2b - 2ab2 sommo i termini simili     -4abx = 2a3 - 4a2b - 2ab2 divido tutto per 2     -2abx = a3 - 2a2b - ab2 cambio di segno per avere il termine contenente la x positivo     2abx = -a(a2 - 2ab - b2) anche qui devo considerare sia ab≠0 che ab=0 se ab≠0 posso applicare il secondo principio dividendo tutto per 2abx        x = -   a(a2 - 2ab - b2) 2ab semplifico        x = -   a2 - 2ab - b2 2b Devo considerare il caso ab=0, che significa a=0 e b=0 oppure a=0 e b≠0 oppure a≠0 e b=0 considero i 3 casi se a=0 e b=0 sostituisco ed ottengo     2·0·0·x = -2·0(02 + 02)     0x = 0 e l'equazione e' indeterminata se a=0 e b≠0 sostituisco ed ottengo     2·0·bx = -2·0(02 + b2)     0x = 0 e l'equazione e' indeterminata se a≠0 e b=0 sostituisco ed ottengo     2a·0·x = -2a(a2 + 02)     0x = -4a3 ed essendo a≠0 l'equazione e' impossibile (questo potevo saltarlo, e' lo stesso risultato gia' ottenuto sopra) Raccogliendo:    se a ≠ 0 e b ≠ 0 ed a ≠ b ottengo   x = -   a2 - 2ab - b2 2b y = -   a2 + b2 2b     se a = 0 il sistema e' indeterminato     se a ≠ 0 e b = 0 il sistema e' impossibile