sviluppo
Calcolare le soluzioni del seguente sistema con il metodo di Cramer
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(a - b)x - (a + b)y = 2a2 |
| (a + b)x - (a - b)y = 2ab |
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a-b |
-a-b |
2a2 |
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| a+b |
-a+b |
2ab |
devo scrivere prima di tutto (lo faccio a destra) la matrice dei coefficienti: nella prima colonna i coefficienti delle x, nella seconda i coefficienti delle y e nella terza i termini noti; per semplicita' li scrivo senza parentesi facendo il conto dei segni
adesso considero i determinanti: il determinante dei coefficenti e' il determinante con elementi le prime due colonne della matrice
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a-b |
-a-b |
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| a+b |
-a+b |
Per trovare la x faccio una frazione con al denominatore il determinante dei coefficienti, mentre al numeratore metto lo stesso determinante, ma, al posto della colonna della x metto la colonna dei termini noti
| x = |
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2a2 |
-a-b |
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= |
| 2ab |
-a+b |
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a-b |
-a-b |
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| a+b |
-a+b |
calcolo i determinanti sopra e sotto (primo per quarto meno secondo per terzo),
| x = |
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2a2 |
-a-b |
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= |
2a2·(-a+b) - (-a-b)·2ab |
= |
| 2ab |
-a+b |
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a-b |
-a-b |
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(a-b)·(-a+b)-(a+b)·(-a-b) |
| a+b |
-a+b |
sopra eseguo i calcoli, sotto, raccogliendo opportunamente i segni, considero i quadrati dei binomi
| x = |
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2a2 |
-a-b |
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= |
2a2·(-a+b) - (-a-b)·2ab |
= |
-2a3+2a2b+2a2b+2ab2 |
= |
| 2ab |
-a+b |
|
|
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| |
a-b |
-a-b |
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(a-b)·(-a+b)-(a+b)·(-a-b) |
-(a-b)2+(a+b)2 |
| a+b |
-a+b |
sopra sommo i termini simili, sotto sviluppo i quadrati e cambio di segno il risultato del primo quadrato
| = |
-2a3+4a2b+2ab2 |
= |
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| -a2-b2+2ab +a2+b2+2ab |
sopra raccolgo 2a sotto sommo i termini simili
| = |
-2a3+4a2b+2ab2 |
= |
2a(-a2+2ab+b2) |
= - |
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| -a2-b2+2ab +a2+b2+2ab |
4ab |
supponendo 4ab≠0 semplifico e trovo il risultato
| = |
-2a3+4a2b+2ab2 |
= |
2a(-a2+2ab+b2) |
= - |
a2-2ab-b2 |
|
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| -a2-b2+2ab +a2+b2+2ab |
4ab |
2b |
Mettendo assieme tutti i passaggi
| x = |
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2a2 |
-a-b |
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= |
2a2·(-a+b) - (-a-b)·2ab |
= |
-2a3+2a2b+2a2b+2ab2 |
= |
| 2ab |
-a+b |
|
|
|
| |
a-b |
-a-b |
|
(a-b)·(-a+b)-(a+b)·(-a-b) |
-(a-b)2+(a+b)2 |
| a+b |
-a+b |
| = |
-2a3+4a2b+2ab2 |
= |
2a(-a2+2ab+b2) |
= - |
a2-2ab-b2 |
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| -a2-b2+2ab +a2+b2+2ab |
4ab |
2b |
Abbiamo diviso per 4ab, quindi dobbiamo distinguere i vari casi
- se ab≠0 la soluzione e' quella trovata
- se ab=0 allora ho tre possibilita'
-
se a = 0 e b = 0 ottengo zero fratto zero
ed il sistema e' indeterminato
- se a = 0 e b ≠ 0 ottengo ancora zero fratto zero
ed il sistema e' indeterminato (Devi guardare il penultimo passaggio dove posso semplificare solo se a≠0, non l'ultimo )
- se a ≠ 0 e b = 0 sostituendo ottengo a diviso zero
ed il sistema e' impossibile essendo a un numero diverso da zero
Devo ancora trovare la y (solo per il caso ab≠0); ti metto in fila tutti i passaggi; sono quasi uguali a quelli precedenti
| y = |
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a - b |
2a2 |
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= |
(a-b)·2ab - 2a2·(a+b) |
= |
2a2b-2ab2-2a3-2a2b |
= |
| a+b |
2ab |
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| |
4ab |
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4ab |
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4ab |
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| = |
-2a3-2ab2 |
= |
-2a(a2+b2) |
= |
-(a2+b2) |
= - |
a2+b2 |
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|
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4ab |
4ab |
2b |
2b |
scrivo il risultato
| se a ≠ 0 e b ≠ 0 ed a ≠ b ottengo |
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x = - |
a2 - 2ab - b2
2b |
| y = - |
a2 + b2
2b |
se a = 0 il sistema e' indeterminato
se a ≠ 0 e b = 0 il sistema e' impossibile
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Nota: il caso a=b non viene evidenziato perche'non ho diviso per a-b come nel metodo di sostituzione; la soluzione relativa e' compresa in quella trovata e si puo' ottenere sostituendo il valore a a b nella soluzione finale (insomma il metodo di sostituzione e' stato meno preciso: mi ha fatto fare un ragionamento inutile)
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