soluzione
Calcolare le soluzioni del seguente sistema
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a + 3
x + 1 |
= |
a - 3
y + 1 |
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x(a + 3) - y(a - 3)
a2 - 9 |
= |
18a2 + 54
a4 - 18a2 + 81 |
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a + 3
x + 1 |
= |
a - 3
y + 1 |
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x(a + 3) - y(a - 3)
(a - 3)(a+ 3) |
= |
18(a2 + 3)
(a - 3)2(a + 3)2 |
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condizione di realta'
C.R.
(x + 1) ≠ 0 → x ≠ 1
(y + 1) ≠ 0 → y ≠1
inoltre, perche' il sistema abbia significato, per il parametro a ci saranno le condizioni a-3≠0 a+3≠0 cioe' a ≠ ± 3
nella prima moltiplico in croce, nella seconda eseguo il m.c.m.
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| (a + 3)(y + 1) = (a - 3)(x + 1) |
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x(a - 3)(a + 3)2 - y(a + 3)(a - 3)2
(a - 3)2(a + 3)2 |
= |
18(a2 + 3)
(a - 3)2(a + 3)2 |
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(a + 3)y + a + 3 = (a - 3)x + a - 3 |
| x(a - 3)(a + 3)2 - y(a + 3)(a - 3)2 = 18(a2 + 3) |
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-x(a - 3) + y(a + 3) = + a - 3 - a - 3 |
| x(a - 3)(a + 3)2 - y(a + 3)(a - 3)2 = 18(a2 + 3) |
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x(a - 3) - y(a + 3) = 6 |
| x(a - 3)(a + 3)2 - y(a + 3)(a - 3)2 = 18(a2 + 3) |
Applico il metodo di Cramer
scrivo la matrice completa
scrivo il termine noto della seconda equazione sviluppato
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a-3 |
-(a+3) |
6 |
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| (a-3)(a+3)2 |
-(a+3)(a-3)2 |
18a2+54 |
| x = |
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6 |
-(a+3) |
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= |
-6(a+3)(a-3)2+(a+3)(18a2+54) |
= |
(a+3)[-6(a-3)2+(18a2+54)] |
= |
| 18a2+54 |
-(a+3)(a-3)2 |
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| |
a-3 |
-(a+3) |
|
-(a+3)(a-3)3+(a-3)(a+3)3 |
(a+3)(a-3)[-(a-3)2+(a+3)2] |
| (a-3)(a+3)2 |
-(a+3)(a-3)2 |
| = |
-6(a2-6a+9) +18a2+54 |
= |
-6a2+36a-54+18a2+54 |
= |
12a2+36a |
= |
12a(a+3) |
= |
a+3 |
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| (a-3)(-a2 +6a-9 +a2+6a+9) |
12a(a-3) |
12a(a-3) |
12a(a-3) |
a-3 |
| y = |
|
a+3 |
6 |
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= |
(a+3)(18a2+54) -6(a-3)(a+3)2 |
= |
(a+3)[(18a2+ 54)-6(a-3)(a+3)] |
= |
| (a-3)(a+3)2 |
18a2+54 |
|
|
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| |
a-3 |
-(a+3) |
|
12a(a+3)(a-3) |
12a(a+3)(a-3) |
| (a-3)(a+3)2 |
-(a+3)(a-3)2 |
| = |
18a2 + 54 - 6(a2 - 9) |
= |
18a2 + 54 - 6a2 + 54 |
= |
12a2 + 108 |
= |
12(a+11) |
= |
a+11 |
|
|
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| 12(a-3) |
12a(a-3) |
12a(a-3) |
12a(a-3) |
a(a-3) |
| |
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x = |
a+3
a-3 |
|
y = |
a+11
a(a-3) |
confronto la soluzione con le condizioni di realta'
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x ≠ -1 → |
a+3
a-3 |
≠ -1 |
a + 3 ≠ -(a - 3)
a + 3 ≠ -a + 3
a + a ≠ 3 - 3
a ≠ 0
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y ≠ -1 → |
a+11
a(a-3) |
≠ -1 |
se a≠0
a + 11 ≠ -a(a - 3)
a + 11 ≠ -a2 + 3a
a2 - 2a + 11 ≠0
siccome per calcolarlo dovrei risolvere un'equazione di secondo grado ci fermiamo qui (comunque e' sempre verificata)
Raccogliendo
se a = 0 oppure a = ± 3 il sistema non ha significato
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| se a ≠ 0 e a≠ ±3 |
ottengo |
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x = |
a+3
a-3 |
| y = |
a+11
a(a-3) |
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