sviluppo
Calcolare le soluzioni del seguente sistema
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x - y
a |
+ |
2x + y + 1
a + 1 |
= 2 |
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| 2x + |
3
a |
y = 5a |
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perche' il sistema abbia significato, per il parametro a ci saranno le condizioni a≠0 ed anche a+1≠0 cioe' a ≠ -1
faccio il minimo comune multiplo
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(a + 1)(x - y) +a(2x + y + 1)
a(a+1) |
= |
2a(a + 1)
a(a+1) |
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2ax + 3y
a |
= |
5a2
a |
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elimino i denominatori
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(a + 1)(x - y) +a(2x + y + 1) = 2a(a + 1) |
| 2ax + 3y = 5a2 |
la seconda e' a posto
nella prima eseguo le moltiplicazioni
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ax - ay + x - y + 2ax + ay + a = 2a2 + 2a |
| 2ax + 3y = 5a2 |
sposto il termine senza incognita dopo l'uguale
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ax + x + 2ax - y = 2a2 + 2a -a |
| 2ax + 3y = 5a2 |
sommo i termini simili
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3ax + x - y = 2a2 + a |
| 2ax + 3y = 5a2 |
metto in evidenza la x ed ho il sistema ridotto a forma normale
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(3a -1)x - y = 2a2 + a |
| 2ax + 3y = 5a2 |
Applico il metodo di Cramer
scrivo a destra la matrice completa
| x= |
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2a2 + a |
-1 |
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= |
3(2a2 + a) + 5a2 |
= |
6a2 + 3a + 5a2 |
= |
11a2 + 3a |
= |
| 5a2 |
3 |
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| |
3a + 1 |
-1 |
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3(3a + 1) + 2a |
9a + 3 + 2a |
11a + 3 |
| 2a |
3 |
| = |
a(11a + 3) |
= a |
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| 11a +3 |
| y = |
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3a - 1 |
2a2 + a |
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= |
5a2(3a - 1) - 2a(2a2 + a) |
= |
15a3- 5a2 - 4a3 - 2a2 |
= |
| 2a |
5a2 |
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| |
3a + 1 |
-1 |
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11a + 3 |
11a + 3 |
| 2a |
3 |
| = |
11a3- 7a2 |
= |
a2(11a - 7) |
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| 11a + 3 |
11a + 3 |
con la condizione a = -3/11 il sistema e' impossibile
(per y ho numero/0, mentre per x ho 0/0 quindi e' piu' forte la condizione numero/0 ed il sistema e' impossible)
con la condizione a≠-3/11 ho la soluzione
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x = |
a |
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y = |
a2(11a - 7)
11a + 3 |
Raccogliendo
se a = 0 oppure a = ± -1 il sistema non ha significato
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se a = -3/11 il sistema e' impossibile
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| se a ≠ 0 e a≠ ±-1 e a≠ -3/11 |
ottengo |
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x = |
a |
| y = |
a2(11a - 7)
11a + 3 |
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