sviluppo Calcolare le soluzioni del seguente sistema x - a 3a + b + y - a 2a - b - 5a2 6a2 - ab - b2  =  0 x + y - a 2x - 2y  =  b 5a scompongo con Ruffini 6a2 - ab - b2 = sottointendo la b per semplicita' (poi la rimetto alla fine) 6a2 - a - 1 =   6  -1    -1 1/2   +3 +1   6 -2 // P(1) = 6 - 1 - 1 ≠ 0 P(-1) = 6 + 1 - 1 ≠ 0 P(1/2) = 6·1/4 - 1/2 - 1 = 3/2 - 1/2 - 1 = 0 6a2 - a - 1 = (a - 1/2)(6a - 2) = (2a - 1)(/3a - 2) sopra ho estratto 2 dalla seconda equazione e lo ho moltiplicato per la prima rimetto la b al suo posto 6a2 - ab - b2 = (2a - b)(3a - 2b) Piccolo trucco: di solito questi esercizi sono strutturati in modo da essere abbastanza semplici, quindi il minimo comune multiplo non puo' essere spropositato; se guardi bene l'equazione in essa sono gia' presenti i termini della scomposizione ; quindi conviene provare subito se gli altri temini presenti nell'equazione sono dei fattori senza perdere tempo a cercare fra tutti x - a 3a + b + y - a 2a - b - 5a2 (3a+b)(2a-b)  =  0 x + y - a 2(x - y)  =  b 5a condizione di realta' C.R. (x - y) ≠ 0 → x ≠ y inoltre, perche' il sistema abbia significato, per il parametro a ci saranno le condizioni a ≠ 0     a ≠-b/3     a ≠ b/2 nella prima eseguo il m.c.m., nella seconda moltiplico in croce (x-a)(2a-b) + (y-a)(3a+b)-5a2 (3a+b)(2a-b)  =  0 5a(x + y + a)  =  2b(x - y) tolgo il denominatore (secondo principio di equivalenza delle equazioni) (x-a)(2a-b) + (y-a)(3a+b)-5a2  =  0 5a(x + y + a)  =  2b(x - y) moltiplico 2ax - bx - 2a2 + ab + 3ay + by -3a2 - ab -5a2  =  0 5ax + 5ay + 5a2  =  2bx - 2by porto i termini con le incognite prima dell'uguale, quelli senza dopo l'uguale e chi salta l'uguale cambia di segno 2ax - bx + 3ay + by  =  2a2 + 3a2 + 5a2 -ab + ab 5ax + 5ay - 2bx + 2by  =  - 5a2 sommo i termini simili ed evidenzio le incognite x(2a - b) + y(3a + b)  =  10a2 x(5a - 2b) + y(5a + 2b)  =  - 5a2 Il sistema e' ora ridotto a forma normale Applico il metodo di Cramer; a destra scrivo la matrice completa 2a-b 3a + b 10a2 5a - 2b 5a + 2b -5a2     x = 10a2 3a+b = 10a2(5a + 2b) +5a2(3a + b) = 50a3 + 20a2b + 15a3 + 5a2b = -5a2 5a+2b 2a-b 3a+b (2a-b)(5a+2b)-(5a-2b)(3a+b) 10a2+4ab-5ab + 2b2 - 15a2-5ab+6ab+2b2 5a-2b 5a+2b    = 65a3 + 25a2b = 5a2(13a + 5b) -5a2 + 4b2 -5a2 + 4b2     y = 2a-b 10a2 = -5a2(2a - b) - 10a2(5a - 2b) = -10a3 + 5a2b + 50a3 + 20a2b = 5a-2b -5a2 2a-b 3a+b -5a2 + 4b2 -5a2 + 4b2 5a-2b 5a+2b    = 40a3 + 25a2b = 5a2(8a + 5b) -5a2 + 4b2 -5a2 + 4b2     x  =  5a2(13a + 5b) -5a2 + 4b2 y  =  2(8a + 5b) -5a2 + 4b2 confrontare la soluzione con le condizioni di realta' richiede la conoscenza di equazioni di grado superiore al primo, quindi tralasciamo il confronto e ci accontentiamo della semplice soluzione Raccogliendo     se a = 0     a =-b/3     a = b/2 il sistema non ha significato     se a ≠ 0 , a ≠-b/3 , a ≠ b/2 la soluzione e'   x  =  5a2(13a + 5b) -5a2 + 4b2 y  =  2(8a + 5b) -5a2 + 4b2