sviluppo

Calcolare le soluzioni del seguente sistema

x

y		 a

a2 - 1 		- x

y		 a

a2 + 1 		 =  2b

a4 - 1
x + y + 1

x + y - 1		  =  a + b + 1

a + b - 1


scompongo i denominatori della prima e moltiplico

ax

y(a-1)(a+1) 		- ax

y(a2+1) 		 =  2b

(a-1)(a+1)(a2 + 1)
x + y + 1

x + y - 1		  =  a + b + 1

a + b - 1


C.R.     y ≠ 0     x ≠ y + 1
valgono le condizioni di realta'
y ≠ 0 ed anche x+y-1 ≠ 0 o meglio x ≠ y + 1

inoltre perche' il sistema abbia significato, per i parametri a e b ci saranno le condizioni
a ≠ ±1 ed anche a +b -1≠0

sopra faccio il m.c.m.; sotto moltiplico in croce

ax(a2+1) -ax(a2-1)

y(a-1)(a+1)(a2+1) 		 =  2by

y(a-1)(a+1)(a2 + 1)
(x + y + 1)(a + b - 1)  =  (a + b + 1)(x + y - 1)


sopra tolgo il denominatore (secondo principio), sotto moltiplico

ax(a2+1) - ax(a2-1)  =  2by
ax + bx - x + ay + by - y + a + b - 1  =  ax + bx + x + ay + by + y - a - b - 1


sopra raccolgo ax, sotto sposto i termini

ax(a2 + 1 - a2 + 1)  =  2by
ax + bx - x + ay + by - y -ax - bx - x - ay - by - y  =  - a - b - 1 - a - b + 1


sommo i termini simili

2ax  =  2by
- 2x - 2y  =  - 2a - 2b


divido sopra per 2 e sotto per -2

ax - by  =  0
x + y  =  a + b


ul sistema e' ridotto a forma normale
Applico il metodo di Cramer scrivo a destra la matrice completa
a -b 0
1 1 a+b



    x=     0 -b = 0(1) + b(a - b) = b(a - b)
a + b 1
a -b a + b a+ b
1 1
con a+b≠0




    y =     a 0 = a(a + b) - 0(1) = a(a+b) = a
1 a + b
a -b a + b a+ b
1 1

se a + b = 0 ed a = 0 il sistema sarebbe indeterminato, ma essendo y=a la condizione e' contraria alle condizioni di realta' quindi il sistema non ha significato
se a + b = 0 ed a ≠ 0 il sistema e' impossibile
con la condizione a + b ≠0 ho la soluzione
    x  =  b(a - b)

a + b
y  =  a


devo confrontare la soluzione con la condizione di realta' x  ≠  y + 1

per farlo e' necessario risolvere un'equazione di secondo grado quindi ci accontentiamo della condizione
per curiosita' ti mostro i passaggi
b(a - b)

a + b		  ≠  a + 1
b(a - b)

a + b		  ≠  (a + b)(a + 1)

a + b
b(a - b)  ≠  (a + b)(a + 1)
ab - b2  ≠  a2 + a + ab + b
ab - b2 - a2 - a - ab - b  ≠  0
- b2 - a2 - a - b  ≠  0
a2 + b2 + a + b  ≠  0
a2 + a + b(b + 1)  ≠  0
per poter procedere dovremmo saper risolvere un'equazione di secondo grado quindi ci fermiamo qui
Raccogliendo

se a = 0 (equivalente ad y = 0) oppure x  ≠  y + 1 la soluzione e' contraria alle condizioni di realta'

se a =± 1 oppure a + b - 1 =0 il sistema non ha significato

se a ≠ 0 ed a+b =0 il sistema e' impossibile

se a ≠ 0, a≠ ±-1 a+b-1≠0 e a+b≠0 ottengo x  =  b(a-b)

a+b
y  =  a