soluzione
Calcolare le soluzioni del seguente sistema
condizioni di realta'
y ≠ 0
(x + y) ≠ 0 → x ≠ -y
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a(x + y)
y(x + y) |
- |
2ay
y(x + y) |
= |
b(x + y)
y(x
+ y) |
|
| (x + y)(x - y) = 2b(x + y) |
|
sopra tolgo i denominatori
sotto divido per (x+y): posso farlo perche' per ipotesi e' diverso da zero
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a(x + y) - 2ay = b(x + y) |
| x - y = 2b |
| |
ax + ay - 2ay = bx + by |
| x - y = 2b |
| |
ax + ay - 2ay - bx - by = 0 |
| x - y = 2b |
| |
ax - ay - bx - by = 0 |
| x - y = 2b |
| |
x(a - b) - y(a + b) = 0 |
| x - y = 2b |
Applico il metodo di Cramer
scrivo la matrice completa
| x= |
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a-b |
0 |
|
= |
2(a - b) - 1(0)) |
= |
2(a - b) |
= |
a - b |
| 1 |
2 |
|
|
|
|
| |
a-b |
-a-b |
|
-1(a - b) - 1(-a - b) |
2b |
b |
| 1 |
-1 |
con b≠0
| y = |
|
0 |
-a-b |
|
= |
0(-1) - 2(-a - b) |
= |
2(a + b) |
= |
a + b |
| 2 |
-1 |
|
|
|
|
| |
a-b |
-a-b |
|
2b |
2b |
b |
| 1 |
-1 |
se b= 0 ed a = 0 il sistema e' indeterminato
se b= 0 ed a ≠ 0 il sistema e' impossibile
se b≠ 0 la soluzione e'
confronto la soluzione con le condizioni di realta'
| |
y ≠ 0 → |
a - b
b |
≠ 0 → a-b ≠ 0 → a ≠ b |
| |
x ≠ y → |
a + b
b |
≠ |
a - b
b |
→ a+b ≠ a-b → 2b ≠ 0 → b ≠ 0 |
essendo la condizione b = 0 contraria elle condizioni di realta' non consideriamo i casi di sistema indeterminato ed impossibile
raccogliendo
se b = 0 (equivalente ad y=0) oppure a = b (equivalente ad x=y) la soluzione e' contraria alle condizioni di realta'
| se b ≠ 0, ed a ≠ b |
ottengo |
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x = |
a-b
b |
| y = |
a+b
b |
|