sviluppo
Calcolare le soluzioni del seguente sistema
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avendo delle incognite al denominatore devo porre le condizioni di realta'
y ≠ 0
(x + y) ≠ 0 → x ≠ -y
sopra eseguo il minimo comune multiplo, sotto scompongo
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a(x + y)
y(x + y) |
- |
2ay
y(x + y) |
= |
b(x + y)
y(x
+ y) |
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| (x + y)(x - y) = 2b(x + y) |
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sopra tolgo i denominatori
sotto divido per (x+y): posso farlo perche' per ipotesi e' diverso da zero
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a(x + y) - 2ay = b(x + y) |
| x - y = 2b |
sopra moltiplico, l'equazione sotto e' ridotta a forma normale
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ax + ay - 2ay = bx + by |
| x - y = 2b |
sposto i termini con le incognite prima dell'uguale
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ax + ay - 2ay - bx - by = 0 |
| x - y = 2b |
sommo i termini simili
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ax - ay - bx - by = 0 |
| x - y = 2b |
evidenzio le incognite
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x(a - b) - y(a + b) = 0 |
| x - y = 2b |
l sistema e' ridotto a forma normale; essendo letterale
uso il metodo di Cramer
a destra scrivo la matrice completa
| x = |
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a-b |
0 |
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= |
2(a - b) - 1(0)) |
= |
2(a - b) |
= |
2(a - b) |
= |
a - b |
| 1 |
2 |
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a-b |
-a-b |
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-1(a - b) - 1(-a - b) |
-a + b + a + b |
2b |
b |
| 1 |
-1 |
con b≠0
| y = |
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0 |
-a-b |
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= |
0(-1) - 2(-a - b) |
= |
2(a + b) |
= |
a + b |
| 2 |
-1 |
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a-b |
-a-b |
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2b |
2b |
b |
| 1 |
-1 |
se b= 0 ed a = 0 il sistema e' indeterminato
se b= 0 ed a ≠ 0 il sistema e' impossibile
se b≠ 0 la soluzione e'
confronto la soluzione con le condizioni di realta'
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y ≠ 0 → |
a - b
b |
≠ 0 → a-b ≠ 0 → a ≠ b |
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x ≠ y → |
a + b
b |
≠ |
a - b
b |
→ a+b ≠ a-b → 2b ≠ 0 → b ≠ 0 |
essendo la condizione b = 0 contraria elle condizioni di realta' non consideriamo i casi di sistema indeterminato ed impossibile
raccogliendo
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se b = 0 (equivalente ad y=0) oppure a = b (equivalente ad x=y) la soluzione e' contraria alle condizioni di realta'
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| se b ≠ 0, ed a ≠ b |
ottengo |
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x = |
a-b
b |
| y = |
a+b
b |
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