Calcoliamo
(a+b+c)³=
la potenza 3 significa il moltiplicare la base 3 volte per se' stessa
=(a+b+c)·(a+b+c)·(a+b+c)=
moltiplichiamo il primo fattore per il secondo, anzi ricordiamoci che l'abbiamo gia' fatto perche' e' il quadrato di un trinomio e quindi sappiamo che vale
(a+b+c)²= (a+b+c)·(a+b+c) = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
quindi posso scrivere
=(a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc)·(a+b+c)=
ora moltiplico termine a termine il primo polinomio per il secondo: siccome sono 6 termini per 3 termini otterro' 18 termini, quindi capisci che devi procedere con calma perche' e' molto facile sbagliarsi
Moltiplico il primo termine a² per (a+b+c)
a²· a = a³
a²·b = a²b
a²·c = a²c

Moltiplico il secondo termine b² per (a+b+c)
b²· a = ab²
b²·b = b³
2²·c = b²c

Moltiplico il terzo termine c² per (a+b+c)
c²· a = ac²
c²·b = bc²
c²·c = c³

Moltiplico il quarto termine 2ab per (a+b+c)
2ab· a = 2a²b
2ab·b = 2ab²
2ab·c = 2abc

Moltiplico il quinto termine 2ac per (a+b+c)
2ac· a = 2a²c
2ac·b = 2abc
2ac·c = 2ac²

Moltiplico il sesto termine 2bc per (a+b+c)
2bc· a = 2abc
2bc·b = 2b²c 2bc·c = 2bc²

Ora li scrivo in fila
= a³ + a²b + a²c + ab² + b³ + b²c + ac² + bc² + c³ + 2a²b + 2ab² + 2abc + 2a²c + 2abc + 2ac² + 2abc + 2b²c + 2bc² =

adesso sommo tra loro i termini simili, cioe'
a²b + 2a²b = 3a²b
a²c + 2a²c = 3a²c
ab² + 2ab² = 3ab²
b²c + 2b²c = 3b²c
ac² + 2ac² = 3ac²
bc² + 2bc² = 3bc²
2abc + 2abc +2abc= 6abc
ora li scrivo ordinandoli secondo le potenze (prima la potenza piu' alta ) e poi secondo le lettere cioe' a viene prima di b e 3b²c viene prima di 3bc²)
= a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3a²c + 3ab² + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc

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