Potenza fra numeri reali con esponente reale Dobbiamo studiare ar       con a ed r numeri reali Qui dobbiamo distinguere tre casi diversi a > 1 Se la base e' maggiore di 1 allora possiamo procedere come nel caso del prodotto (ricorda che la potenza e' un prodotto ripetuto): Come classe inferiore della potenza prenderemo l'insieme dei numeri razionali negativi, il numero zero ed i numeri che si ottengono elevando i numeri positivi della classe inferiore di a all'esponente dato dai numeri positivi della classe inferiore di r Come classe superiore prenderemo i numeri della classe superiore di a elevati ai numeri della classe superiore di r 0 <a < 1 Qui abbiamo il problema che elevando un numero inferiore ad 1 a potenza crescente il risultato diminuisce, quindi dobbiamo scambiare i numeri positivi della classe superiore con i numeri positivi della classe inferiore cioe': Come classe inferiore della potenza prenderemo l'insieme dei numeri razionali negativi, il numero zero ed i numeri che si ottengono elevando i numeri positivi della classe superiore di a all'esponente dato dai numeri positivi della classe superiore di r Come classe superiore prenderemo i numeri della classe inferiore di a elevati ai numeri della classe inferiore di r a < 0 In queso caso non possiamo definire la potenza: la potenza reale non razionale di un numero reale negativo non e' definita In pratica, per i calcoli, non ce ne importa niente perche' vedremo in analisi che e' possibile sostituire ad un numero il suo limite e quindi possiamo approssimare quanto vogliamo la potenza ad esponente reale con la potenza ad esponente razionale definiamo anche i casi particolari: 1r = 1 0r = 0 00 = 1