L'insieme N come generatore degli altri insiemi numerici Abbiamo visto che i vari insiemi numerici sono ottenuti considerando come inizio l'insieme N dei numeri naturali ed applicando successivi ampliamenti: cosi' abbiamo N -> Z -> Q -> R -> C 2 -> +2 -> 2/1 -> 2,0000.. -> 2,0000.. + i 0 lo stesso numero e' scritto in modo diverso nei diversi insiemi Algebricamente possiamo definire i vari ampliamenti che abbiamo fatto; all'inizio mediante delle relazioni di equivalenza: Cosi' se consideriamo la relazione Rel su N x N tale che Uso per la relazione il simbolo Rel perche' il simbolo R mi servira' per indicare i numeri reali (a,b) Rel (c,d) <=> a + d = c + b         Perche' questa relazione? questa e' una relazione di equivalenza le cui classi di equivalenza sono i numeri in Z e quindi partendo da NxN genero l'insieme Z dei Numeri Interi Mostriamo che la relazione Rel e' di equivalenza Similmente prendendo la relazione di equivalenza su Z x Z tale che (a,b) Rel (c,d) <=> a · d = c · b         Perche' questa relazione? questa e' una relazione di equivalenza le cui classi di equivalenza sono i numeri in Q e quindi partendo da ZxZ genero l'insieme Q dei Numeri Razionali Mostriamo che la relazione Rel e' di equivalenza A partire da Q abbiamo poi costruito le "sezioni di Dedekind" che ci hanno permesso di definire i Numeri RealiR come elementi separatori di classi contigue di Numeri Razionali Successivamente abbiamo definito C come insieme delle coppie (a;b) RxR con (a;b) = a + ib Quindi possiamo dire che l'insieme N e' l'insieme generatore di tutti gli insiemi numerici ed esiste in tutti gli insiemi numerici almeno un sottoinsieme che e' isomorfo ad N stesso.