y = tang x   → y' = 1 cos2x dimostrazione devo trovare la derivata di y = tang x Trasformo la tangente nella forma tang x = senx cosx faccio il limite del rapporto incrementale lim        h→0 sen(x + h) cos(x + h) - senx cosx   =   h Anche qui utilizzeremo il primo limite notevole ; intanto facciamo il minimo comune multiplo   =   lim        h→0 sen(x + h)cosx - cos(x + h)senx cos(x + h)cosx   =   h al numeratore ho la formula finale della seno della differenza fra due angoli (x+h) ed (h) sen[(x + h) - x] = sen(x + h)cosx - cos(x + h)senx Appplico la forma in senso inverso ed ottengo   =   lim        h→0 sen[(x + h) - x] cos(x + h)cosx   =   h calcolo entro la quadra e moltiplico la frazione sopra per l'inversa di quella sotto   =   lim        h→0 sen h cos(x + h)cosx · 1 h   =   separo i limiti   =   lim        h→0 1 cos(x + h)cosx · sen h h   =   Per il limite fondamentale so che lim        h→0 sen h h   =  1 quindi mi resta da fare   =   lim        h→0 1 cos(x + h)cosx   =   passando al limite per h → 0 ottengo   =   1 cosx cosx   =   1 cos2 x Per ricavare l'altra formula basta un po' di trigonometria: 1 cos2 x   =   uso la prima relazione fondamentale     1 = sen2x + cos2   =   sen2x + cos2 cos2 x   =   spezzo la frazione   =   sen2x cos2 x   +   cos2 cos2 x   =   so per la seconda relazione fondamentale che sen x cos x = tang x quindi scrivo   =   tang2 x   +   1 come volevamo