dimostrazione devo trovare la derivata di ex faccio il limite del rapporto incrementale
posso scrivere per la proprieta' delle potenze
raccolgo e^x
essendo il limite per h posso estrarre dal limite e^x
calcoliamo il limite
e mostriamo che vale 1: pongo eh-1 = t quindi quando h → 0 anche t → 0 ricavo h in funzione di t e^h = 1 + t → h= log (1+t) siccome il logaritmo e' in base e e log(e)=1 posso scrivere
sostituendo nel limite ottengo
numeratore per inverso del denominatore
questo si dimostra col limite fondamentale
infatti (prendo l'inverso del mio limite, tanto l'inverso di 1 e' sempre uguale ad 1)
considero k = 1/t e quindi t=1/k se t → 0 allora k →oo; sostituisco nel mio limite
per la proprieta' dei logaritmi il k lo metto come esponente
il limite del logaritmo e' uguale al logaritmo del limite
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