y = ex   → y' = ex
dimostrazione
La dimostrazione si svolge in tre tempi

devo trovare la derivata di ex

faccio il limite del rapporto incrementale

lim    
   h→0
ex+h - ex

h
  =  


posso scrivere per la proprieta' delle potenze

  =   lim    
   h→0
ex· eh - ex

h
  =  


raccolgo e^x

  =   lim    
   h→0
ex( eh - 1)

h
  =  


essendo il limite per h posso estrarre dal limite e^x

  =  ex   lim    
   h→0
eh - 1

h
  =  


calcoliamo il limite

lim    
   h→0
eh - 1

h
  =  


e mostriamo che vale 1:
pongo eh-1 = t quindi quando h → 0 anche t → 0

ricavo h in funzione di t

e^h = 1 + t → h= log (1+t)

siccome il logaritmo e' in base e e log(e)=1 posso scrivere

   h =     log(1 + t)

log(e)


sostituendo nel limite ottengo

lim    
   h→0
eh - 1

h
  =   lim    
   h→0

t

log(1 + t)
  =  

log(e)


numeratore per inverso del denominatore

  =   lim     log(e)
   h→0
t

log(1+t)
  =  


Essendo log(e) = 1 resta da dimostrare che il limite lim    
   h→0
t

log(1+t)
vale 1


lim    
   h→0
t

log(1+t)
  =  


questo si dimostra col limite fondamentale

lim    
   x→oo
(1 + 1/x)x   =   e


infatti (prendo l'inverso del mio limite, tanto l'inverso di 1 e' sempre uguale ad 1)

lim    
   h→0
log(1 + t)

t
  =  


considero k = 1/t e quindi t=1/k se t → 0 allora k →oo; sostituisco nel mio limite

lim    
   k→oo
log(1 + 1/k)

1/k
  =   lim    
   k→oo
k log(1 + 1/k) =


per la proprieta' dei logaritmi il k lo metto come esponente

  =   lim    
   k→oo
log(1 + 1/k)k   =  


il limite del logaritmo e' uguale al logaritmo del limite

  =   log lim    
   k→oo
(1 + 1/k)k = log (e)   =   1