Piano di Klein Per parlare di queste geometrie occorre andare a modificare il nostro conceto di piano: Il piano e' uno dei concetti primitivi, e non viene definito proprio perche' ognuno di noi dovrebbe averne il concetto preesistente nella sua mente; tu come l'immagini un piano? io l'immagino come un pavimento che si espanda da tutte le parti senza avere muri. Immagina di avere un altezza di 2 metri (cosi' puoi giocare a pallacanestro) e di stare in una stanza a 2 metri dal muro e fai un passo di un metro verso il muro, pero', per magia, ogni volta che fai un passo ti restringi e diventi esattamente la meta' passo numero Ampiezza del passo in cm Distanza dal muro in cm dopo il passo 0 -- 200 1 100 100 2 50 50 3 25 25 4 12,5 12,5 Per te il muro diventa l'infinito perche' ti potrai avvicinare quanto vuoi ma non potrai mai raggiungerlo perche' la tua distanza dal muro sara' sempre uguale alla tua altezza La figura, che richiama (indegnamente) un disegno di Escher, ti aiuta a capire? Man mano che ti avvicini al bordo c'e' sempre qualcos'altro Il piano di Klein e' un piano di questo genere in cui i punti si "addensano" man mano che ti avvicini al bordo; la retta sara' la congiungente due punti sul bordo Per esso valgono tutti i postulati, ad esempio in figura, ognuno col suo colore: Per un punto passano infinite rette Per due punti passa una sola retta La retta divide il piano in due parti tali che prendendo due punti dalla stessa parte il segmento che li unisce non taglia la retta, mentre prendendo due punti da parti opposte il segmento che li unisce taglia la retta Prova da solo gli altri postulati