Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza o circonferenza circoscritta ad un triangolo equilatero Anche in questo caso e' possibile risolvere completamente il triangolo conoscendo solamente il valore del raggio del cerchio circoscritto Infatti congiungendo il centro del cerchio con i vertici del triangolo equilatero ottengo tre triangoli isosceli con un angolo al vertice di 120°; mandando poi le altezze ( che sono anche bisettrici e mediane) dal centro del cerchio ottengo 6 triangoli tra loro congruenti; Ne considero uno, ad esempio AHO Esso ha: AO = r perche' raggio del cerchio circoscritto L'angolo AOH = 60° perche' meta' dell'angolo di 120° essendo l'altezza OH anche bisettrice dell'angolo AOB l'angolo AHO = 90° perche' OH e' l'altezza del triangolo AOB Quindi il triangolo AOH e' un triangolo con angoli di 30°, 60° e 90° e siccome conosco il valore del lato AO = r avremo OH = r/2 AH = r3 --------- 2 Naturalmente e' possibile anche, noto il valore del lato l del triangolo, trovare il valore del raggio del cerchio circoscritto; infatti se: AB = l AH = l/2 AH = AO3 --------- 2 2 AH = AO3 AO3 = 2 AH AO = 2 AH ----------- 3 Razionalizzo ed ottengo AO = 2AH3 ----------- 3 Quindi AO = l 3 ----------- 3