Esempi di strutture di gruppo
1)
Consideriamo l'insieme Z dei numeri interi con l'operazione di addizione: allora la struttura
( Z; + ) e' una struttura di gruppo; infatti
- La somma in Z e' un'operazione interna: il risultato della somma appartiene sempre a Z
- La somma in Z e' associativa, infatti presi comunque tre numeri interi a, b e c, vale sempre la proprieta'
(a + b) + c = a + (b + c)
- Lo zero 0 e' l'elemento neutro per la somma in Z, infatti preso comunque un numero intero a vale sempre la proprieta'
a + 0 = 0 + a = a
- L'elemento simmetrico rispetto alla somma in Z e' l'elemento che ha il segno cambiato (opposto), infatti preso comunque un numero intero a vale sempre la proprieta'
a + (-a) = (-a) + a = 0
2)
Consideriamo l'insieme Q dei numeri razionali con l'operazione di moltiplicazione ·: allora la struttura
( Q; · ) non e' una struttura di gruppo, infatti:
Sono verificate la prima e la seconda proprieta' ma esiste un elemento, lo zero 0 che non possiede l'elemento inverso e quindi non e' verificata la terza proprieta' dei gruppi.
Mentre per mostrare che una proprieta' e' vera devi dimostrarla per tutti gli elementi su cui agisce, per dimostrare che una proprieta' e' falsa e' sufficiente far vedere che esiste un elemento per cui tale proprieta' non e' valida
3)
Consideriamo invece l'insieme Q - {0} dei numeri interi senza
lo zero con l'operazione di moltiplicazione: allora la struttura
( Q -
{0}; · ) e' una struttura di gruppo; infatti
- Il prodotto in Q - {0} e' un'operazione interna: il risultato del prodotto fra due numeri in Q - {0} appartiene sempre a Q - {0}
- Il prodotto in Q - {0} e' associativo, infatti presi comunque tre numeri interi a, b e c, vale sempre la proprieta'
(a · b) · c = a · (b · c)
- L'uno 1 e' l'elemento neutro per il prodotto in Q - {0}, infatti preso comunque un numero razionale a vale sempre la proprieta'
a · 1 = 1· a = a
- L'elemento simmetrico rispetto al prodotto in Q - {0} e' l'elemento del tipo 1/a (inverso), infatti preso comunque un numero intero a vale sempre la proprieta'
| a · |
1
---
a |
= |
1
---
a |
· a = 1 |
e, non essendoci lo zero, ogni elemento ha un suo inverso
4) Vediamo un gruppo parecchio "strano"
Prendiamo l'insieme composto dal solo numero uno { 1 } con l'operazione di moltiplicazione ·
({ 1 } , ·) e' un gruppo, infatti:
- L'operazione di prodotto e' interna: il risultato e' sempre 1
- Il prodotto in { 1 } e' associativo, infatti
(1 · 1) · 1 = 1 · (1 · 1)
- L'uno 1 e' l'elemento neutro per il prodotto in { 1 }, infatti
1 · 1 = 1· 1 = 1
- L'elemento simmetrico rispetto al prodotto in { 1 } e' lo stesso 1 infatti
1 · 1 = 1· 1 = 1
essendo l'1 finale l'elemento neutro
Esercizio
Prova a dimostrare che l'insieme composto dal solo numero zero { 0 } con l'operazione di addizione +
( { 0 } , + ) e' un gruppo
questo ed il gruppo precedente vengono anche chiamati gruppo banale
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