esercizio Individuare la struttura di spazio vettoriale sullo spazio ordinario Rn con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione e con moltiplicazione scalare la normale moltiplicazione R·Rn E' la stessa dimostrazione fatta nella pagina precedente, solamente consideriamo n componenti invece delle tre ordinarie, quindi procede nello stesso modo: se hai fatto quella puoi non fare questa Dimostrazione: dovremo mostrare che abbiamo la presenza di un gruppo commutativo su Rn con l'oprazione somma (nelle componenti si riduce a somma fra elementi di R) la commutativita' del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R) la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari la proprieta' associativa fra gli scalari Cominciamo dal primo punto Mostriamo che ( R3, +) e' un gruppo commutativo; devono valere le proprieta': + e' interna infatti chiamati (a1, a2, a3, ....., an) e (b1, b2, b3, ....., bn) due elementi di Rn allora anche (a1+b1, a2+b2, a3+b3, ......, an+bn) appartiene a Rn infatti abbiamo che sulle varie componenti vale l'addizione in R + e' associativa, infatti chiamati (a1, a2, a3, ....., an), (b1, b2, b3, ....., bn) e (c1, c2, c3, ....., cn) tre elementi di R3 abbiamo: [(a1, a2, a3, ....., an)+(b1, b2, b3, ....., bn)]+(c1, c2, c3, ....., cn) = = (a1+b1, a2+b2, a3+b3, ......, an+bn)+(c1, c2, c3, ....., cn)= = (a1+b1+c1, a2+b2+c2, a3+b3+c3, ......, an+bn+cn)= = [a1+(b1+c1), a2+(b2+c2), a3+(b3+c3), ......, an+(bn+cn)]= = (a1, a2, a3, ....., an)+(b1+c1, b2+c2, b3+c3, ......, bn+cn) = = (a1, a2, a3, ....., an)+[(b1, b2, b3, ....., bn)+(c1, c2, c3, ....., cn)] Infatti sulle varie componenti (in R) vale le proprieta' associativa dell'addizione + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento (0, 0, 0,......,0) tale che per ogni elemento (a1, a2, a3, ....., an) di R3 abbiamo (0, 0, 0,.....,0)+(a1, a2, a3, ....., an) = = (0+a1, 0+a2, 0+a3, ....., 0+an) = = (a1+0, a2+0, a3+0, ....., an+0) = = (a1, a2, a3, ....., an) + (0, 0, 0,.....,0) Questo perche' sulle componenti l'addizione e' commutativa ogni elemento (a1, a2, a3, ....., an) di Rn possiede in + l'elemento simmetrico (-a1, -a2, -a3, ....., -an) tale che: (a1, a2, a3, ....., an) + (-a1, -a2, -a3, ....., -an) = = (a1-a1, a2-a2, a3-a3,........ an-an) = (0, 0,0,.....,0) Infatti dato su una componente un numero reale basta considerare lo stesso numero con segno opposto; Quindi ( Rn, +) e' un gruppo; inoltre tale gruppo e' commutativo perche' presi comunque due elementi (a1, a2, a3, ....., an) e (b1, b2, b3, ....., nn) di Rn vale sempre (a1, a2, a3, ....., an)+(b1, b2, b3, ....., bn) = = (a1+b1, a2+b2+a3+b3,........ an+bn) = =(b1+a1, b2+a2, b3+a3, ........ bn+an) = = (b1, b2, b3, ....., bn)+(a1, a2, a3, ....., an) infatti su una componente posso applicare la legge commutativa valida in R Mostriamo la commutativita' del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R) x · (a1, a2, a3, ....., an) = (x·a1, x·a2, x·a1, ........,x·an) = =(a1·x, a2·x, a3·x,.....,an·x ) = (a1, a2, a3, ....., an)·x Il prodotto ordinario in R e' commutativo, quindi... Mostro la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale x·[(a1, a2, a3, ....., an)+(b1, b2, b3, ....., bn)]= =x·(a1+b1, a2+b2, a3+b3,......., an+bn)= = [x·(a1+b1, x·(a2+b2), x·(a3+b3),......., x·(an+bn)]= = (xa1+xb1, xa2+xb2, xa3+xb3,......., xan+xbn) = = (a1x+b1x, a2x+b2x, a3x+b3x,......., anx+bnx) = =(b1x+a1x, b2x+a2x, b3x+a3x,......., bnx+anx) = =(b1x, b2x, b3x,.......,bnx)+(a1x, a2x, a3x,......., anx) = = (xb1, xb2, xb3,.......,xbn)+(xa1, xa2, xa3,......., xan) = = x(b1, b2, b3, ....., bn) + x(a1, a2, a3, ....., an) se fermi il mouse sui termini ti illustro i passaggi Mostriamola proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari x·(y+z) = x·y + x·z siamo in R e quindi la proprieta' e' valida Mostriamo la proprieta' associativa fra gli scalari x·(y·z) = (x·y)·z siamo sempre in R e quindi la proprieta' e' valida Quindi Rn) e' uno spazio vettoriale sul corpo R