Dimostriamo la terza relazione partiamo dalle relazioni delle proiezioni a = b cos + c cos b = a cos + c cos c = a cos + b cos moltiplichiamo la prima relazione per -a moltiplichiamo la seconda relazione per -b moltiplichiamo la terza relazione per  c -a2 = -ab cos - ac cos -b2 = - ab cos - bc cos   c2 = ac cos + bc cos Sommiamo tra loro tutti i termini prima dell'uguale e tutti i termini dopo l'uguale: essendo delle uguaglianze il risultato e' ancora un'uguaglianza -a2 - b2 + c2 = - ab cos - ac cos - ab cos - bc cos + ac cos + bc cos sommo i termini simili - a2 - b2 + c2 = -2ab cos e quindi c2 = a2 + b2 - 2ab cos come volevamo