|
Siano gli eventi E1 ed E2 due eventi tra loro mutualmente incompatibili, nel senso che puo' succedere uno solo dei due, e sia E un evento che puo' accadere solamente associato ad uno dei due precedenti; allora vale la relazione (teorema della probabilita' totale): P(E )= P(E1) · P(E|E1) + P(E2) · P(E|E2) Naturalmente possiamo generalizzare al caso di n eventi tra loro mutualmente indipendenti P(E )= P(E1) · P(E|E1) + P(E2) · P(E|E2) + P(E3) · P(E|E3) + ........ + P(En) · P(E|En) Dimostrazione: So che gli eventi E1 e E2 sono tra loro incompatibili e che l'evento E puo' avvenire solo associato ai due eventi precedenti, cioe', con la simbologia della teoria degli insiemi E = (E  E1)  (E E2)
Per la proprieta' addittiva fra eventi incompatibili P(E) = P(E E1) + P(E E2)
e per la proprieta' moltiplicativa P(E) = P(E1) · P(E|E1) + P(E2) · P(E|E2) Come volevamo Esempio: Abbiamo due urne: la prima contiene 6 palline bianche e 8 nere la seconda contiene 8 palline bianche e 4 nere; trovare la probabilita' che, estraendo a caso una pallina da una delle due urne, la pallina estratta sia nera E uscita di una pallina nera E1 uscita della pallina dalla prima urna E2 Uscita della pallina dalla seconda urna Dalla formula abbiamo P(E )= P(E1) · P(E|E1) + P(E2) · P(E|E2) P(E1) = 1/2 probabilita' di estrarre dalla prima urna P(E2) = 1/2 probabilita' di estrarre dalla seconda urna P(E|E1) = 8/14 = 4/7 probabilita' di estrarre una pallina nera dalla prima urna P(E|E2) = 4/12 = 1/3 probabilita' di estrarre una pallina nera dalla seconda urna Quindi ottengo P(E)= 1/2 · 4/7 + 1/2 · 1/3 = 2/7 + 1/6 = 19/42 = 0,4523.. ~ 45,2% | .
|
|
|
|