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Speranza matematica Consideriamo ora il concetto fondamentale base della teoria dei giochi: la speranza matematica Definizione: La speranza matematica e' il prodotto fra la somma da vincere e la probabilita' di vincerla per indicarla useremo il simbolo: Speranza matematica = Sp essendo S la somma da vincere e p la probabilita' di vincerla Concettualmente la speranza matematica e' il valore che vincerei (o perderei) in media in ogni puntata se il gioco continuasse indefinitamente vediamo di capire meglio il concetto cominciando dagli esempi della pagina precedente : 1)Lancio una moneta: se esce testa vinco 1 euro, se esce croce perdo 1 euro Speranza matematica per "uscita di testa" somma da vincere 1€ probabilita' di uscita di testa = 1/2 Speranza matematica = S1p1 = 1€ · 1/2 = 0,5€ Speranza matematica per "uscita di croce" somma da vincere -1€ (negativo perche' lo perdo) probabilita' di uscita di croce = 1/2 Speranza matematica = S2p2 = -1€ · 1/2 = - 0,5€ Speranza matematica totale = S1p1 + S2p2 = + 0,5€ - 0,5€ = 0 La speranza matematica del gioco e' nulla: cioe' se giocassi all'infinito dovrei aspettarmi di vincere in media 0 euro per ogni puntata ho messo gli indici ad S perche' vi sono giochi in cui e' diversa la somma che si puo' vincere o perdere 2)Estraggo una carta da un mazzo di 40: se esce un asso vinco 5 euro, se esce una figura vinco 1 euro Speranza matematica per "uscita di un asso" somma da vincere 5€ probabilita' di uscita di un asso = 4/40 = 1/10 Speranza matematica = S1p1 = 5€ · 1/10 = 0,5€ Speranza matematica per "uscita di una figura" somma da vincere 1€ probabilita' di uscita di croce = 12/40 = 3/10 Speranza matematica = S2p2 = 1€ · 3/10 = 0,30€ Speranza matematica totale = S1p1 + S2p2 = + 0,50€ + 0,30€ = 0,80€ La speranza matematica del gioco e' 0,80 euro circa: cioe' cioe' se giocassi all'infinito dovrei aspettarmi di vincere in media 80 centesimi di euro per ogni giocata evidentemente e' un gioco sbilanciato, nel senso che posso solo vincere e non perdere 3) gioco 1 euro al superenalotto: posso vincere 100.000.000 (cento milioni) di euro se indovino i sei numeri. Calcolo la mia speranza matematica del gioco Speranza matematica per "uscita di 6 numeri" somma da vincere 100000000€ probabilita' di uscita di 6 numeri in ordine= 1/90 · 1/89 · 1/88 · 1/87 · 1/86 · 1/85 = 1/448.282.533.600 pero' i miei numeri possono uscire in qualunque modo: se esce il numero 5 puo' uscire sia al primo che al terzo posto, per me e' indifferente, quindi devo considerare le possibili sestine cioe' le permutazioni semplici su 6 oggetti permutazioni su 6 oggetti p6 = 6! =6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 probabilita' di uscita di 6 numeri in ordine qualunque = 720/448.282.533.600 = 0,000000002 circa 2 possibilita' su un miliardo! Speranza matematica = S1p1 = 100000000€ · 0,000000002 = + 0.20 € Speranza matematica per "non uscita di tutti e sei i numeri somma da vincere - 1€ (negativo perche' lo perdo) probabilita' di non uscita di tutti e sei i numeri = probabilita' contraria = 1 - 0,000000002 = 0,999999998 Speranza matematica = S2p2 = - 1€ · 0,999999998 = - 0,999999998 € Speranza matematica totale = S1p1 + S2p2 ~ + 0,20€ - 0,999999998€ ~ -0,80€ La speranza matematica del gioco e' -0,80 euro circa: cioe' se giocassi 1 euro all'infinito, tra vincite e perdite, dovrei aspettarmi di perdere in media 0,80 euro per ogni giocata, cioe' per vincere una volta cento milioni dovrei in media giocare cinquecento milioni in puntate in cui perdo (puntando un euro per volta) Capito perche' non gioco al superenalotto? Lo stato prende tutte le giocate, ne restituisce come premio il 20% al vincitore e ne incamera l'80% (mia speranza matematica) . E' giusto dire che il gioco gestito dallo stato e' il sistema di far pagare le tasse a chi non sa la matematica