|
Mostriamo che la disuguaglianza (1+b)n > 1+nb e' sempre vera se b>1 ed n>1 con b∈N e n∈N Dimostriamolo per induzione per n=2 la disuguaglianza e' vera (1+b)2 = 1 + 2b + b2 > 1+2b infatti, essendo b2 un termine positivo, se lo tolgo l'espressione diminuisce di valore supposto che sia vera per il valore n mostriamo che e' vera per n+1 parto da (1+b)n > 1+nb moltiplico da entrambe le parti per (1+b), essendo un numero positivo non varia il verso della disuguaglianza (1+b)n·(1+b) > (1+nb)·(1+b) (1+b)n+1 > 1 + nb + b + nb2 = 1 + b(n+1) + nb2 > 1 + b(n+1) essendo nb2 positivo, togliendolo l'epressione diminuisce di valore quindi scrivendo il primo e l'ultimo membro della disuguaglianza ottengo (1+b)n+1 > 1 + b(n+1) come volevamo |