sviluppo Risolvere e discutere la seguente equazione x - a b2   +   x - b a2   =   x ab Prima devo supporre i denominatori diversi da zero perche' altrimenti l'equazione perde di significato     a2 ≠ 0 → a ≠ 0     b2 ≠ 0 → b ≠ 0 scrivo le condizioni a destra solo con queste condizioni posso risolvere l'equazione faccio il minimo comune multiplo: lo divido per i denominatori e moltiplico il risultato per i numeratori Condizioni di realta' a ≠ 0 b ≠ 0 a2(x - a) + b2(x - b) a2b2   =   abx a2b2 applico il secondo principio per eliminare i denominatori     a2(x - a) + b2(x - b) = abx moltiplico     a2x - a3 + b2x - b3 = abx Sposto i termini con la x prima dell'uguale e quelli senza la x dopo l'uguale: chi passa l'uguale cambia di segno     a2x + b2x - abx = a3 + b3 prima dell'uguale raccolgo x, dopo l'uguale scompongo (somma di due cubi)     x(a2 - ab + b2) = (a + b)(a2 - ab + b2) valgono sempre le condizioni a ≠ 0 e b ≠ 0 se (a2 - ab + b2) ≠ 0 posso applicare il secondo principio di equivalenza e quindi ottengo x(a2 - ab + b2) (a2 - ab + b2)   =   (a + b)(a2 - ab + b2) (a2 - ab + b2)   →   x   =   a + b se (a2 - ab + b2) = 0 non posso applicare il secondo principio di equivalenza e quindi sostituisco 0 ad (a2 - ab + b2) nell'equazione ed ottengo 0·x = 0   →   0 = 0 siccome non esistono valori di x che rendano valida l'uguaglianza l'equazione e' impossibile raccolgo i risultati   Se a = 0 l'equazione non ha significato   Se b = 0 l'equazione non ha significato   Se a ≠ 0 e b ≠ 0 e (a2-ab+b2) ≠-0   →   x = a+b   Se a ≠ 0 e b ≠ 0 e (a2-ab+b2) = 0 equazione indeterminata   Nota: per ora scriviamo cosi'; piu' avanti (nelle disequazioni di secondo grado) vedremo che il trinomio a2 - ab + b2 e' sempre positivo per ogni valore reale diverso da zero di a e b, quindi dovremo modificare i risultati nel modo seguente   Se a = 0 l'equazione non ha significato   Se b = 0 l'equazione non ha significato   Se a ≠ 0 e b ≠ 0   →   x = a+b