sviluppo Calcolare le soluzioni del seguente sistema con il metodo di sostituzione     (a - b)x - (a + b)y = 2a2     (a + b)x - (a - b)y = 2ab per ricavare x dalla prima equazione devo supporre il denominatore diverso da zero (secondo principio) a - b ≠ 0 → a≠b lo scrivo a destra per ricordarmelo meglio a≠b ricavo la x dalla prima equazione e la sostituisco nella seconda per mostrarlo meglio lo metto in rosso     x = 2a2 + (a+b)y a - b        (a + b)· 2a2 + (a+b)y (a - b) - (a - b)y = 2ab adesso lavoro solo sulla seconda equazione: per non stare a riscrivere ogni volta la prima equazione, finche' non riserve, la sostituisco con una linea faccio il prodotto         2a2(a +b) + (a+b)2y (a - b) - (a - b)y = 2ab faccio il m.c.m.         2a2(a +b) + (a+b)2y - (a - b)2y (a - b) = 2ab(a -b) (a - b) per il secondo principo di equivalenza moltiplico tutto per (a-b) ed elimino i denominatori         2a2(a +b) + (a+b)2y - (a - b)2y = 2ab(a -b) eseguo i calcoli         2a3 + 2a2b + a2y + 2aby + b2y - a2y + 2aby - b2y = 2a2b - 2ab2 elimini i termini uguali di segno contrario         2a3 + 2a2b + 2aby + 2aby = 2a2b - 2ab2 porto i termini senza y dopo l'uguale         2aby + 2aby = 2a2b - 2ab2 - 2a3 - 2a2b sommo i termini simili         4aby = -2ab2 - 2a3 scivo in modo piu' ordinato         4aby = -2a(a2 + b2) per ricavare la y devo dividere per 4ab (secondo principio) quindi suppongo devo supporre ab≠0 se ab ≠ 0 divido tutto per 4ab (secondo principio) ed ottengo            y = -2a(a2 + b2) 4ab     x = 2a2 + (a+b)y a - b        y = -(a2 + b2) 2b sostituisco il valore della y trovato nella seconda equazione al posto della y nella prima equazione       x = 2a2 + (a+b)· - a2 - b2 2b         a - b       y = - a2 - b2 2b al posto della seconda metto una linea; calcolo la prima, eseguo i prodotti al numeratore       x =   2a2 + -a3 - a2b - ab2 - b3 2b         a - b       minimo comune multiplo       x = 4a2b -a3 - a2b - ab2 - b3 2b         a - b       sommo i termini simili       x = -a3 + 3a2b - ab2 - b3 2b         a - b       scompongo al numeratore (scomposizione di Ruffini)       x = (a - b)(-a2 + 2ab + b2) 2b         a - b       numeratore per inverso del denominatore       x = (a - b)(-a2 + 2ab + b2) 2b · 1 (a - b)     semplifico ed ho la soluzione       x = - a2 -2ab - b2 2b     y = - a2 + b2 2b se ab=0 puo' essere a=0 e b=0 oppure a=0 e b≠0 oppure a≠0 e b =0 distinguo i tre casi: se a = 0 e b = 0 sostituendo ottengo         4·0·0·y = - 2·0( 02 +02) → 0 = 0 ed il sistema e' indeterminato se a = 0 e b ≠ 0 sostituendo ottengo         4·0·by = - 2·0( 02 +b2) → 0 = 0 ed il sistema e' indeterminato (insomma, se a=0 il sistema e' indeterminato) se a ≠ 0 e b = 0 sostituendo ottengo         4a·0·y = - 2a( a2 +02) → 0 = -2a3 ed il sistema e' impossibile essendo a diverso da zero Non e' finita: per essere esatti e trovare tutte le soluzioni devo sostituire nell'equazione iniziale il valore a=b e vedere cosa succede     (a - b)x - (a + b)y = 2a2     (a + b)x - (a - b)y = 2ab metto a al posto di b (a=b)     (a - a)x - (a + a)y = 2a2     (a + a)x - (a - a)y = 2a·a     0x - (a + a)y = 2a2     (a + a)x - 0y = 2a2     - 2ay = 2a2     2ax = 2a2 se a≠0 e b≠0 posso applicare il secondo principio ed ottengo     x = a     y = -a quindi raccogliendo:    se a ≠ 0 e b ≠ 0 e a = b ottengo x = a y = -a    se a ≠ 0 e b ≠ 0 ed a ≠ b ottengo   x = -   a2 - 2ab - b2 2b y = -   a2 + b2 2b se a = 0 il sistema e' indeterminato se a ≠ 0 e b = 0 il sistema e' impossibile Nota: confronta la soluzione con il metodo di Cramer: per i sistemi letterali il metodo di Cramer di solito ti facilita i calcoli