soluzione
Calcolare le soluzioni del seguente sistema
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x + y + 2
x + 2y + 4 |
= |
3
4 |
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a + 1
x + 2 |
= |
a - 1
y + 2 |
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condizioni di realta'
C.R.
x+2y+4 ≠ 0 → x ≠ -2y-4
x+2 ≠ 0 → x ≠ - 2
y+2 ≠ 0 → y≠ -2
Moltiplico in croce (equivale a fare il m.c.m. ed eliminare i denominatori)
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4(x + y + 2) = 3(x + 2y + 4) |
| (a + 1)(y + 2) = (a - 1)(x + 2) |
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4x + 4y + 8 = 3x + 6y + 12 |
| ay + 2a + y + 2 = ax + 2a - x - 2 |
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4x - 3x + 4y - 6y = 12 - 8 |
| -ax + x + ay + y = + 2a - 2a - 2 - 2 |
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x - 2y = 4 |
| -x(a - 1) + y(a + 1) = -4 |
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x - 2y = 4 |
| x(a - 1) - y(a + 1) = 4 |
Applico il metodo di Cramer
scrivo la matrice completa
| x = |
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4 |
-2 |
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= |
4·(-a-1)-(-2)·4 |
= |
- 4a - 4 + 8 |
= |
| 4 |
-a-1 |
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|
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| |
1 |
-2 |
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1·(-a-1)-(-2)·(a-1) |
-a - 1 + 2a - 2 |
| a-1 |
-a-1 |
| = |
- 4a + 4 |
= |
-4(a - 1) |
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| a - 3 |
a - 3 |
| y = |
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1 |
4 |
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= |
4·1-4·(a - 1) |
= |
4 - 4a + 4 |
= |
| a-1 |
4 |
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| |
1 |
-2 |
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a - 3 |
a - 3 |
| a-1 |
-a-1 |
| = |
- 4a + 8 |
= |
-4(a + 2) |
|
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| a - 3 |
a - 3 |
con la condizione a - 3 ≠ 0 cioe' a ≠ 3 la soluzione e'
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x = |
-4(a - 1)
a-3 |
| y = |
-4(a - 2)
a - 3 |
Se a = 3 (sostituisco nella soluzione) Cramer e' della forma numero/0 quindi impossibile
Per le condizioni di realta' dovremo porre le condizioni
x ≠ -2 →
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-4(a - 1)
a-3 |
≠ - 2 |
→ a ≠ -1
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calcoli |
y ≠ -2 →
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-4(a - 2)
a-3 |
≠ - 2 |
→ a ≠ 1
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calcoli |
x ≠ -2y-4 →
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-4(a - 1)
a-3 |
≠ -2· |
-4(a - 2)
a-3 |
- 4 |
→ a ≠ 1
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calcoli |
Raccolgo i risultati
| se a = ± 1 il sistema e' senza significato perche' contrario alle condizioni di realta' |
| se a ≠3 ed a ≠ ±1 ottengo |
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x = a + 2 |
| y = |
2a + 1 |
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