sviluppo

Calcolare le soluzioni del seguente sistema

x + y + 2

x + 2y + 4		  =  3

4
a + 1

x + 2		  =  a - 1

y + 2


I denominatori sono gia' scomposti
Avendo delle incognite ai denominatori devo porre le condizioni di realta'
C.R.
    x+2y+4 ≠ 0 → x ≠ -2y-4
    x+2 ≠ 0 → x ≠ - 2
    y+2 ≠ 0 → y≠ -2


Moltiplico in croce (equivale a fare il m.c.m. ed eliminare i denominatori)

4(x + y + 2)  =  3(x + 2y + 4)
(a + 1)(y + 2)  =  (a - 1)(x + 2)


eseguo i prodotti

4x + 4y + 8  =  3x + 6y + 12
ay + 2a + y + 2  =  ax + 2a - x - 2


sposto i termini con le incognite prima dell'uguale, quelli senza dopo l'uguale e chi salta l'uguale cambia di segno (primo principio di equivalenza)

4x - 3x + 4y - 6y  =  12 - 8
-ax + x + ay + y  =  + 2a - 2a - 2 - 2


sopra sommo i termini simili, sotto raccolgo la x e la y

x - 2y  =  4
-x(a - 1) + y(a + 1)  =  -4


sotto cambio di segno ed ottengo il sistema in forma normale

x - 2y  =  4
x(a - 1) - y(a + 1)  =  4


Applico il metodo di Cramer; scrivo la matrice completa
il coefficiente del secondo termine in basso lo scrivo senza parentesi -(a+1)=-a-1

ricavo la x

1 -2 4
a-1 -a-1 4



    x = 4 -2 = 4·(-a-1)-(-2)·4 = - 4a - 4 + 8 =
4 -a-1
1 -2 1·(-a-1)-(-2)·(a-1) -a - 1 + 2a - 2
a-1 -a-1


    = - 4a + 4     = -4(a - 1)
a - 3 a - 3
devo considerare la condizione a-3≠0

ricavo la y

    y = 1 4 = 4·1-4·(a - 1) = 4 - 4a + 4 =
a-1 4
1 -2 a - 3 a - 3
a-1 -a-1


    = - 4a + 8     = -4(a + 2)
a - 3 a - 3

quindi, con la condizione a - 3 ≠ 0 cioe' a ≠ 3 la soluzione e'

x = -4(a - 1)

a-3
y = -4(a - 2)

a - 3

Se a = 3 (sostituisco nella soluzione) Cramer e' della forma numero/0 quindi impossibile

Devo ora considerare la soluzione rispetto alle condizioni di realta'
Per le condizioni di realta' dovremo porre

x ≠ -2 →
 -4(a - 1)

a-3		 ≠ - 2     → a ≠ -1
calcoli

y ≠ -2 →
 -4(a - 2)

a-3		 ≠ - 2     → a ≠ 1
calcoli

x ≠ -2y-4 →
 -4(a - 1)

a-3		 ≠ -2· -4(a - 2)

a-3		 - 4     → a ≠ 1
calcoli
quindi perche' le condizioni di realta' siano verificate dovra' essere a≠±1
Raccolgo i risultati


se a = 3 il sistema e' impossibile

se a = ± 1 il sistema e' senza significato perche' contrario alle condizioni di realta'

se a ≠3 ed a ≠ ±1 ottengo x  =  a + 2
y  =  2a + 1