soluzione
Calcolare le soluzioni del seguente sistema
condizioni di realta'
C.R.
x ≠ 0
y ≠ 0
Moltiplico in croce (equivale a fare il m.c.m. ed eliminare i denominatori)
 |
x + 1 = ay |
| y + 1 = bx |
| |
x - ay = -1 |
| - bx + y = -1 |
| |
x - ay = 1 |
| bx - y = 1 |
Applico il metodo di Cramer
scrivo la matrice completa
| x = |
 |
1 |
1 |
|
= |
1·(-1)-(1)·1 |
= |
- 1 - 1 |
= |
-2 |
| 1 |
-1 |
|
|
|
|
| |
1 |
-a |
|
1·(-1)-(-a)·b |
-1 + ab |
ab - 1 |
| b |
-1 |
| y = |
|
1 |
-a |
|
= |
1·(-1) - 1·(-a) |
= |
-1 + a |
= |
a - 1 |
| 1 |
-1 |
|
|
|
|
| |
1 |
-a |
|
ab - 1 |
ab - 1 |
ab - 1 |
| b |
-1 |
con la condizione ab - 1 ≠ 0 cioe' a ≠ 1/b la soluzione e'
| |
x = |
-2
ab - 1 |
| y = |
a - 1
ab - 1 |
Se a = 1/b (sostituisco nella soluzione della x) Cramer e' della forma numero/0 quindi impossibile
Da notare che se sotituissi sulla y dovrei porre le condizioni per b perche' potrebbe essere sia impossibile che indeterminato; pero' se la x e' impossibile coinvolge anche la y e quindi il sistema e' impossibile
Per le condizioni di realta' dovremo porre le condizioni
x ≠ 0 →
|
-2
ab-1 |
≠ 0 |
sempre vera per ab≠1
|
y ≠ 0 →
|
a - 1
ab-1 |
≠ 0 |
→ a ≠ 1
|
Raccolgo i risultati
| se a = 1 il sistema e' senza significato perche' contrario alle condizioni di realta' |
| se a ≠ 1/b ed a ≠ 1 ottengo |
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x = |
-2
ab - 1 |
| y = |
a - 1
ab - 1 |
|