Equazioni con due moduli
Se abbiamo due moduli si avranno genere tre intervalli da considerare e quindi tre equazioni: Vediamo un esempio
Risolvere l'equazione
|2x - 4| + |x + 3| - x = 8
pongo gli argomenti dei moduli maggiori o uguali a zero ottenendo due disequazioni
  1. 2x - 4 0
    2x 4
    x 2

  2. x + 3 0
    x -3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2) + + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - (-3) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Ottengo gli intervalli:
  • ( - , -3) in questo intervallo entrambe le disequazioni non sono verificate quindi i termini interni al modulo devono essere presi col segno cambiato e l'equazione sara'
    -2x + 4 - x - 3 - x = 8
    sviluppando
    - 4x = 7
  • [-3 , 2) in questo intervallo la prima disequazione non e' verificata (quindi devo cambiare di segno i termini del modulo) mentre invece e' verificata la seconda (allora prendo con lo stesso segno i termini del secondo modulo) e l'equazione diventa
    -2x + 4 + x + 3 - x = 8
    sviluppando
    - 2x = 1
  • [2 , +) in questo intervallo entrambe le disequazioni sono verificate quindi i termini dei moduli vanno presi senza cambiarli di segno e l'equazione diventa
    2x - 4 + x + 3 - x = 8
    sviluppando
    2x = 9

Posso rappresentarlo sulla retta reale nel seguente modo:

    - 4x = 7                             - 2x = 1                              2x = 9
______________-3______________________2_________________  

Naturalmente la soluzione e' accettabile solo se cade dentro l'intervallo in cui considero l'equazione: Posso prendere per buona la soluzione della prima equazione solo se e' minore di -3, posso accettare la soluzione della seconda solo se e' compresa fra -3 e 2, posso accettare la soluzione della terza solo se il risultato e' maggiore di 2
In pratica devo risolvere le tre equazioni nel loro intervallo
  • risolviamo la prima
    se x -3 considero
    - 4x = 7
    x = - 7/4
    non essendo questo valore minore di -3 non posso accettarlo
  • risolviamo la seconda
    se -3 x 2 considero
    - 2x = 1
    x = - 1/2
    essendo questo valore compreso tra -3 e 2 posso accettarlo
  • risolviamo la terza
    se x 2 considero
    2x = 9
    x = 9/2
    essendo questo valore maggiore di 2 posso accettarlo
Ho quindi due soluzioni: x = - 1/2          x = 9/2

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