Equazioni con due moduli
Se abbiamo due moduli si avranno
genere tre intervalli da considerare e quindi tre equazioni:
Vediamo un esempio
Risolvere l'equazione
|2x - 4| + |x + 3| - x = 8
pongo gli argomenti dei moduli maggiori o uguali a zero ottenendo
due disequazioni
-
2x - 4
0
2x 4
x 2
- x + 3
0
x
-3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- (2) + + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - (-3) + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + +
Ottengo gli intervalli:
-
( - , -3)
in questo intervallo entrambe le disequazioni non sono verificate
quindi i termini interni al modulo devono essere presi col segno
cambiato e l'equazione sara'
-2x + 4 - x - 3 - x = 8
sviluppando
- 4x = 7
-
[-3 , 2)
in questo intervallo la prima disequazione non e' verificata (quindi
devo cambiare di segno i termini del modulo) mentre invece e'
verificata la seconda (allora
prendo con lo stesso segno i termini del secondo modulo)
e l'equazione diventa
-2x + 4 + x + 3 - x = 8
sviluppando
- 2x = 1
-
[2 , +)
in questo intervallo entrambe le disequazioni sono verificate quindi
i termini dei moduli vanno presi senza cambiarli di segno e
l'equazione diventa
2x - 4 + x + 3 - x = 8
sviluppando
2x = 9
Posso rappresentarlo sulla retta reale nel seguente modo:
- 4x = 7
- 2x = 1
2x = 9
______________-3______________________2_________________
Naturalmente la soluzione e' accettabile solo se cade dentro
l'intervallo in cui considero l'equazione:
Posso prendere per buona la soluzione della prima equazione solo se e'
minore di -3, posso accettare
la soluzione della seconda solo se e' compresa fra -3 e 2,
posso accettare la soluzione della terza solo se il risultato e'
maggiore di 2
In pratica devo risolvere le tre equazioni nel loro intervallo
- risolviamo la prima
se x
-3 considero
- 4x = 7
x = - 7/4
non essendo questo valore minore di -3
non posso accettarlo
- risolviamo la seconda
se -3
x
2 considero
- 2x = 1
x = - 1/2
essendo questo valore compreso tra -3 e 2
posso accettarlo
- risolviamo la terza
se x
2
considero
2x = 9
x = 9/2
essendo questo valore maggiore di 2
posso accettarlo
Ho quindi due soluzioni:
x = - 1/2
x = 9/2
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