Due equazioni equivalenti
Prima facciamo un semplice esempio e poi raccogliamo i risultati
Risolvere il sistema:
x + y + z = 6
x + y + z = 6
x + y - z = 0
Metodo di sostituzione
In questo caso ho che la prima e la seconda equazione sono equivalenti (anzi sono addirittura uguali), e se andassi a sostituire normalmente otterrei alla fine 0=0; quindi, per poter risolvere devo eliminare una delle due equazioni equivalenti ed il mio sistema si riduce a
x + y + z = 6
x + y - z = 0
Risolvo con il metodo di sostituzione: ricavo la y dall'ultima equazione e vado a sostituire nella prima
x + z - x + z = 6
y = z - x
sommo
2z = 6
y = z - x
divido per 2
z = 3
y = z - x
sostituisco a z il valore 3 ed ottengo il risultato
z = 3
y = 3 - x
Ottengo quindi oo soluzioni perche' per ogni valore che posso dare ad x (1,2,3,..... 1/2, 1/3, ....) ottengo un valore per y
e quindi il mio sistema ammette infinite soluzioni che posso anche indicare come
x = k
y = 3-k
z = 3
con k numero reale
Metodo di Cramer
Considero le matrici incompleta e completa
![](../immagini/matricerossa.jpg) |
1 1 1
1 1 1
1 1 -1
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![](../immagini/matricerossa.jpg) |
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![](../immagini/matricerossa.jpg) |
1 1 1 6
1 1 1 6
1 1 -1 0
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Matrice incompleta |
Matrice completa |
Vediamo che ci sono due righe uguali: se procedessi normalmente otterrei che i determinanti 3x3 sarebbero tutti nulli (due righe uguali) ed otterrei come soluzioni 0/0 (valore indeterminato); quindi per procedere a trovare le soluzioni devo eliminare una equazione delle due uguali ed il mio sistema diventa
x + y + z = 6
x + y - z = 0
Devo spostare dopo l'uguale una incognita, trattandola come un numero dato, per avere tante incognite quante equazioni
sposto dopo l'uguale la x per ottenere gli stessi risultati trovati sopra: ottengo il sistema
y + z = 6 - x
y - z = -x
con matrice incompleta e completa
![](../immagini/matricerossa.jpg) |
1 1
1 -1
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![](../immagini/matricerossa.jpg) |
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![](../immagini/matricerossa.jpg) |
1 1 6-x
1 -1 -x
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Matrice incompleta |
Matrice completa |
Trovo y con la regola di Cramer
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![](../immagini/determinanterosso.jpg) |
6-x 1
-x -1
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![](../immagini/determinanterosso.jpg) |
(6-x)·(-1) - 1·(-x)
-6 +x +x -6 + 2x |
y = --------------- = ---------------------- = --------------- = ---------- = 3-x
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![](../immagini/determinanterosso.jpg) |
1 1
1 -1
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![](../immagini/determinanterosso.jpg) |
1·(-1) - 1·1
-1 - 1 -2 |
Trovo z con la regola di Cramer
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![](../immagini/determinanterosso.jpg) |
1 6-x
1 -x
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![](../immagini/determinanterosso.jpg) |
1·(-x) - (6-x)·1
-x -6 + x -6 |
z = --------------- = ---------------------- = --------------- = -------- = 3
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![](../immagini/determinanterosso.jpg) |
1 1
1 -1
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![](../immagini/determinanterosso.jpg) |
1·(-1) - 1·1
-1 - 1 -2 |
e quindi, siccome posso dare ad x un valore qualunque:
x = k
y = 3-k
z = 3
con k numero reale
Possiamo quindi dire:
Se due equazioni sono equivalenti allora il sistema ammette oo soluzioni
per poter elaborare una teoria unitaria avremo bisogno di nuovi concetti quali:
dipendenza ed indipendenza lineare
matrici, determinanti e rango di una matrice
Lo vedremo nelle prossime pagine
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