Teorema di Rouchè-Capelli Siamo ora in grado di enunciare un teorema che rappresenta il sunto di tutti i ragionamenti precedenti: Un sistema di equazioni di primo grado (lineari) ammette soluzioni (una o infinite) se e solo se il rango (caratteristica) della matrice completa e' uguale al rango (caratteristica) della matrice incompleta Inoltre, sempre rifacendoci ai ragionamenti precedenti, possiamo dire che, se i ranghi uguali della matrice completa ed incompleta sono inferiori al numero delle incognite allora il sistema ammette infinite soluzioni Non solo, ma possiamo affermare che , se le incognite sono 3 e il rango vale s (con s < 3) allora le soluzioni sono oo3-s Il ragionamento fatto per i sistemi di 3 equazioni di primo grado in tre incognite potra' essere esteso in modo semplice ai sistemi di n equazioni in n incognite Insomma per risolvere un sistema di 3 equazioni di primo grado in tre incognite dobbiamo: Controllare la matrice completa ed incompleta e vedere se il loro rango vale 3: se vale 3 allora posso usare Cramer per trovare la soluzione Se i ranghi sono diversi il sistema non ammette soluzioni Se i ranghi sono uguali ma inferiori a 3 allora devo scegliere le equazioni corrispondenti al determinante il cui valore sia diverso da zero e considerare solo un numero di incognite uguale al numero di equazioni considerate spostando le altre incognite dopo l'uguale trattandole come fossero parametri e risolvere il sistema che ottengo con il metodo di Cramer (o di sostituzione)