Radice n-esima di un numero complesso
Per calcolare la radice n-esima di un numero complesso dovremo rifarci alla formula inversa dell'elevamento a potenza
per quanto riguarda  non c'e' nessun problema
invece i problemi sorgono per determinare l'angolo  : infatti quando eleviamo a potenza un angolo noi eseguiamo una rotazione e quanto piu' e' elevata la potenza ed e' ampio l'angolo tanti piu' giri fara' l'angolo risultante
Teniamo inoltre presente che per il teorema fondamentale dell'algebra una radice n-sima dovra' avere n soluzioni
in pratica dovremo trovare n valori per l'angolo ; allora otterremo
- il primo angolo 1considerando l'angolo risultante nel primo giro
- il secondo angolo 2 considerando l'angolo risultante nel secondo giro
- il terzo angolo 3 considerando l'angolo risultante nel terzo giro
..............................................
- l'n-simo angolo n considerando l'angolo risultante nell'n-simo giro
se considerassi un giro in piu' ritroverei il primo angolo: ricordiamoci che le funzioni trigonometriche sono periodiche
Con queste considerazioni avremo che dato il numero complesso
z =
 (cos 
+ i sen )
le sue radici n-sime saranno
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+ 2k |
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+ 2k |
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( z )k =
( cos
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--------------- |
+ i sen |
--------------- |
) |
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n |
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n |
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Con k = 0, 1, 2,......, n-1
Come accennato prima se continuassi a prendere altri valori oltre questi troverei ancora le stesse radici
Un esercizio chiarira' meglio il metodo:
se preferisci risolvere l'esercizio in gradi
Trovare le radici quarte del numero complesso
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2 |
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2 |
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| z = 16(cos |
---- |
+ i sen |
---- |
) |
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3 |
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3 |
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applichiamo la formula
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2/3 + 2k |
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2 /3 + 2k |
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( z )k =
16 ( cos
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--------------- |
+ i sen |
--------------- |
) |
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4 |
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4 |
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Con k = 0, 1, 2, 3
chiamiamo le 4 radici
w0,w1,w2,w3,
-
per k=0 otteniamo la prima soluzione w0
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w0 =
2( cos
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----- |
+ i sen |
----- |
) |
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6 |
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6 |
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-
per k=1 otteniamo
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2 /3 + 2 |
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2 /3 + 2 |
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w1 =
2( cos
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------------- |
+ i sen |
------------- |
) |
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4 |
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4 |
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e sommando gli angoli
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2 |
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2 |
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w1 =
2( cos
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--------- |
+ i sen |
--------- |
) |
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3 |
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3 |
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-
per k=2 otteniamo
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2 /3 + 4 |
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2 /3 + 4 |
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w2 =
2( cos
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------------- |
+ i sen |
------------- |
) |
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4 |
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4 |
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e sommando gli angoli
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7 |
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7 |
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w2 =
2( cos
|
--------- |
+ i sen |
--------- |
) |
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6 |
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6 |
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-
per k=3 otteniamo
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2 /3 + 6 |
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2 /3 + 6 |
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w3 =
2( cos
|
------------- |
+ i sen |
------------- |
) |
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4 |
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4 |
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e sommando gli angoli
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5 |
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5 |
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w3 =
2( cos
|
--------- |
+ i sen |
--------- |
) |
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3 |
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3 |
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da notare che se rappresentiamo le soluzioni sul cerchio trigonometrico troviamo che le soluzioni dividono in parti uguali il cerchio (in questo caso sono vertici di un quadrato)
il fatto e' generale: la radice n-sima di un numero complesso da' dei valori che dividono il cerchio trigonometrico in n parti uguali
Applicazioni: Possiamo utilizzarle per risolvere equazioni complesse tipo
xn = z
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