Antinomia di Russel Nella seconda meta' del 1800 i matematici pensarono che per fondare la matematica su solide basi tutto avrebbe dovuto basarsi sulla teoria degli insiemi e, qualunque cosa doveva essere ricavata matematicamente dai postulati e dalle regole di inferenza: questo avrebbe garantito alla matematica una solida base logica ed avrebbe assicurato l'effettiva verita' dei risultati. Comunque tutto l'edificio venne messo in crisi dalla scoperta nella teoria degli insiemi di un'antinomia da parte di Russel Vediamola in particolare. Ogni insieme ha la caratteristica o di contenere se' stesso come elemento oppure di non contenere se' stesso come elemento: Vediamo un esempio: L'insieme di tutti gli uomini non e' un uomo e quindi tale insieme non contiene se' stesso come elemento L'insieme di tutti i gruppi di esseri umani e' ancora un gruppo di esseri umani e quindi contiene se' stesso come elemento Ora possiamo considerare gli insiemi suddivisi in due categorie: L'insieme di tutti gli insiemi che contengono se' stessi come elemento L'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se' stessi come elemento Se ora considero come un insieme il secondo gruppo, cioe' l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se' stessi come elemento posso dire se tale insieme appartiene al primo od al secondo gruppo? Se l'insieme fa parte del primo gruppo allora contiene se' stesso come elemento ma essendo l'insieme i tutti gli insiemi che non contengono se' stessi come elemento allora non contiene se' stesso come elemento Se l'insieme fa parte del secondo gruppo, cioe' non contiene se' stesso come elemento allora per definizione, non contenendo se' stesso come elemento non puo' far parte del secondo gruppo e qundi fa parte degli insiemi che contengono se' stessi come elemento Insomma nessuno lo vuole! Ognuno gli da' un calcio e lo manda via Quindi non posso dire se l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se' stessi come elemento appartiene al primo oppure al secondo gruppo Russel evidenzio' che quando si ha autoreferenzialita', cioe' che dall'interno di una teoria si parla della teoria stessa, si ottengono risultati contraddittori. Paradosso del barbiere: nel 1918 Russel propose una versione piu' semplice del suo paradosso: Se in un villaggio isolato vi e' un solo barbiere che non porta la barba e che fa la barba a tutti gli abitanti del villaggio eccetto a quelli che se la fanno da soli Chi fa la barba al barbiere? E' lo stesso paradosso: infatti non puo' farsi la barba da solo perche' la fa solo ai quelli che non se la fanno da soli non puo' farsi fare la barba da un altro perche' lui la fa a tutti quelli che non se la fanno da soli