Rappresentazione di un gruppo finito mediante la tabella di Cayley E' possibile rappresentere i gruppi finiti (gruppi con un numero finito di elementi) mediante dei particolari diagrammi chiamati diagrammi di Cayley; vediamoli su un paio di gruppi Considero l'insieme A che ha come elementi: Primo elemento = insieme dei numeri pari = p Secondo elemento = insieme di numeri dispari= d A = { p , d } considero l'operazione di addizione Allora { A , } e' un gruppo Posso rappresentarlo come p d p p d d d p E' come una tavola pitagorica: i dati sono quelli neri; quelli rossi li trovo come incrocio, ad esempio: p p = p     pari piu' pari uguale pari p d = d     pari piu' dispari uguale dispari d p = d     dispari piu' pari uguale dispari d d = p     dispari piu' dispari uguale pari Se non hai capito bene ferma il mouse sulla casella che ti interessa Osservando la tabella di Cayley vedi la struttura di gruppo: nel nostro caso p e' l'elemento neutro L'elemento inverso lo trovi guardando le caselle che hanno come risultato l'elemento neutro: nel nostro caso l'inverso di d e' d. Altro esempio: (devi saper usare i numeri immaginari) Considero l'insieme A = { i, -1, -i, 1 }     sono le potenze di i con l'operazione di moltiplicazione La struttura { A , } e' un gruppo Posso rappresentarlo come 1 i -1 -i 1 1 i -1 -i i i -1 -i 1 -1 -1 -i 1 i -i -i 1 i -1 Per i calcoli ferma il mouse sulla casella con il risultato (in rosso) che ti interessa. Dalla tabella puoi vedere che 1 e' l'elemento neutro (moltiplicandolo per gli altri non li cambia Per trovare l'inverso basta che guardi quando i risultati sono 1: gli 1 sono all'incrocio di elementi inversi, quindi: 1 e' l'opposto di se' stesso -1 e' l'opposto di se' stesso i e' l'opposto di -i Se il gruppo e' commutativo allora la tabella di Cayley e' simmetrica rispetto alla diagonale principale (questo aiuta molto nel costruirla) Vediamone un altro: Consideriamo tutte le possibili rotazioni attorno al punto di incontro delle diagonali da far eseguire ad un quadrato in modo che i vertici siano sempre coincidenti L'operazione di rotazione avra' solamente 4 valori (essendo ciclica per 360° cioe' dopo 360 ° si ripete) a1 = 0°    a2 = 90°    a3 = 180°    a4 = 270°    La tabella di Cayley sara' quindi: a1 a2 a3 a4 a1 a1 a2 a3 a4 a2 a2 a3 a4 a1 a3 a3 a4 a1 a2 a4 a4 a1 a2 a3 Da notare che ponendo a1 = 1    a2 = i    a3 = -1    a4 = -i i due gruppi precedenti coincidono: infatti i numeri complessi e le rotazioni nel piano sono diversi aspetti della stessa realta'