esercizio Individuare la struttura di spazio vettoriale sull' insieme P(x) dei polinomi in x a coefficienti reali con le normali operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·) fra polinomi sul corpo R e con la normale moltiplicazione · come prodotto scalare Per insieme dei polinomi P(x) si intende l'insieme dei polinomi della forma anxn + an-1xn-1 .... a2x2 + a1x + a0 con n = 0,1,2,....,n,n+1,....            non ho capito L'operazione di addizione significa l'addizione fra polinomi per cui sommiamo algebricamente i coefficienti dei termini con x allo stesso grado: cioe', se n e maggiore di m avremo (anxn + an-1xn-1 .... a2x2 + a1x + a0) + (bmxm + bm-1xm-1 .... b2x2 + b1x + b0) = = anxn + an-1xn-1 .... + (am+bm)xm + (am-1+bm-1)xm-1 .... + (a2+b2)x2 + (a1+b1)x + (a0+b0) Il prodotto fra polinomi e' il normale prodotto fra polinomi gia' visto Dimostrazione: dovremo mostrare che abbiamo la presenza di un gruppo commutativo su P(x) con l'operazione somma la commutativita' del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario su ogni termine) la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari la proprieta' associativa fra gli scalari Cominciamo dal primo punto: ti ripeto la dimostrazione gia' fatta nell'esercizio sugli anelli Mostriamo che ( P(x), +) e' un gruppo commutativo; devono valere le proprieta': + e' interna infatti avremo sempre che la somma di due polinomi in x e' sempre ancora un polinomio in x: facciamo un esempio pratico: (2x3 + 5x2 -4x + 3) + (3x2 + 4) = 2x3 + 8x2 -4x + 7 In pratica la somma nei polinomi si riduce alla somma dei coefficienti numerici di stesso grado e quindi le proprieta' della somma sono le stesse che hanno i numeri reali + e' associativa, infatti chiamati A(x), B(x) e C(x) tre elementi di P(x) abbiamo: [A(x) + B(x)] + C(x) = A(x) + [ B(x) + C(x)] facciamo anche qui un esempio pratico: [(2x3 + 5x2 -4x + 3) + (3x2 + 4)] + (2x2 + 3x -4) = = (2x3 + 5x2 -4x + 3) + [(3x2 + 4) + (2x2 + 3x -4)] per mostrarlo basta che fai i calcoli prima e dopo l'uguale e mostri che i risultati sono uguali: lo sono perche' la somma fra i coefficienti (essendo numeri reali) gode della proprieta' associativa + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento P(0), intendendo P(0) come il polinomio 0xn+....+0x2+0x+0 tale che per ogni elemento A(x) di P(x) abbiamo A(x) + P(0) = A(x) P(0) + A(x) = A(x) cioe' sommando P(0) a qualunque elemento l'altro elemento non cambia ogni elemento A(x) di P(x) possiede in + l'elemento simmetrico: infatti preso A(x) = anxn + an-1xn-1 .... a2x2 + a1x + a0 il simmetrico e' A'(x)= -anxn - an-1xn-1 .... -a2x2 - a1x - a0 infatti A(x) + A'(x) = 0 Quindi ( P(x), +) e' un gruppo; inoltre il gruppo e' commutativo perche' commutativa e' la somma fra i coefficienti numerici Cioe' presi comunque due elementi P1(x) e P2(x) di P(x) vale sempre P1(x) + P2(x) = P2(x) + P1(x) La commutativita' del prodotto scalare deriva dalla commutativita' del prodotto ordinario fra numeri rali dovendo moltiplicare il numero dato per ogni coefficiente numerico h · (anxn + an-1xn-1 .... a2x2 + a1x + a0) = =hanxn + han-1xn-1 .... ha2x2 + ha1x + ha0 = = anh xn + an-1hxn-1 .... a2hx2 + a1hx + a0h = = (anxn + an-1xn-1 .... a2x2 + a1x + a0) ·h se fermi il mouse sui passaggi leggi la spiegazione Proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale h·[P1(x)+P2(x)] = h·P1(x)+h·P2(x) Dimostriamolo: supponiamo m>n Supponiamo sia P1(x) un generico polinomio di grado n e P2(x) un polinomio generico di grado m ed inoltre supponiamo m>n h· [(anxn + an-1xn-1 .... a2x2 + a1x + a0) + (bmxm + bm-1xm-1 ....+bnxn + bn-1xn-1+..... +b2x2 + b1x + b0)] = = h· (anxn + an-1xn-1 .... a2x2 + a1x + a0 + bmxm + bm-1xm-1 ....+bnxn + bn-1xn-1+....... +b2x2 + b1x + b0) = = hanxn + han-1xn-1 .... ha2x2 + ha1x + ha0 + hbmxm + hbm-1xm-1 ....+hbnxn + hbn-1xn-1 hb2x2 + hb1x + hb0 = = (hanxn + han-1xn-1 .... ha2x2 + ha1x + ha0) + (hbnxn + hbn-1xn-1+ ...+hbnxn + hbn-1xn-1+... +hb2x2 + hb1x + hb0) = = h· (anxn + an-1xn-1 .... a2x2 + a1x + a0) + h· (bnxn + bn-1xn-1+ ....+bnxn + bn-1xn-1+....... +b2x2 + b1x + b0) se fermi il mouse sui termini ti illustro i passaggi Mostriamola proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari h·(p+q) = h·p + h·q siamo in R e quindi la proprieta' e' valida Mostriamo la proprieta' associativa fra gli scalari h·(p·q) = (h·p)·q siamo sempre in R e quindi la proprieta' e' valida Quindi F(x)) e' uno spazio vettoriale sul corpo R