Somma fra serie Consideriamo la serie a1 + a2 + a3 + a4 + .... ed anche la serie b1 + b2 + b3 + b4 + .... Definiamo serie somma delle due serie date la serie: (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + (a4 + b4) + .... cioe' la serie i cui termini sono la somma dei termini di uguale posto nelle serie addendi Se le due serie componenti sono convergenti allora anche la loro somma e' convergente; e se le due serie convergono assolutamente allora anche la loro somma converge assolutamente anche se una delle due e' convergente e l'altra e' divergente possiamo ancora fare la somma ed otteniamo una serie divergente; inoltre: se entrambe le serie componenti sono divergenti positivamente (divergenti negativamente) allora la loro somma diverge positivamente (diverge negativamente) Esempio: sommando la serie armonica che e' divergente s = +1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + ..... con la serie armonica a segni alterni che e' convergente s = +1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + 1 7 - ..... otteniamo la serie divergente s = (1+1) + ( 1 2 - 1 2 ) + ( 1 3 + 1 3 ) + ( 1 4 - 1 4 ) + ( 1 5 + 1 5 ) + ( 1 6 - 1 6 ) + ( 1 7 + 1 7 ) + ..... s = 2 + 0 + 2 3 + 0 + 2 5 + 0 + 2 7 + ..... per mostrare che e' divergente mostriamo che maggiora la serie armonica: infatti sommando i termini due a due otteniamo per la nostra serie s = 2 + 2 3 + 2 5 + 2 7 + ..... che posso scrivere anche come s = ( +1 + 1 ) + ( 1 3 + 1 3 ) + ( 1 5 + 1 5 ) + ( 1 7 + 1 7 ) + ..... e per la serie armonica otteniamo s = ( +1 + 1 2 ) + ( 1 3 + 1 4 ) + ( 1 5 + 1 6 ) + ( 1 7 + 1 8 ) + ..... Essendo il secondo termine dentro ogni parentesi inferiore al primo termine ogni espressione entro parentesi e' inferiore alla corrispondente espressione della serie sopra: infatti sopra ogni espressione entro parentesi e' scomposta nella somma di due termini uguali tra loro ed uguali al primo termine dell'epressione sotto quindi la serie armonica e' minorante della nostra serie che, di conseguenza, diverge