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Consideriamo le serie a1 + a2 + a3 + a4 + .... e b1 + b2 + b3 + b4 + .... Definiamo serie prodotto (secondo Cauchy) delle due serie date la serie: (a1 b1) + (a1 b2 + a2b1) + (a1b3 + a2b2 + a3 b1) + (a1b4 + a2b3 + a3b2 + a4b1) + .... in pratica moltiplico ogni termine della prima serie per ogni termine della seconda a1 b1+a1 b2+a1 b3+a1b4.... +a2b1+a2b2+a2b3+a2b4.....+ a3b1+a3b2+a3b3+a3 b4... ma li associo in questo modo: dentro le parentesi, che rappresentano ognuna un termine della serie, gli indici delle a aumentano fino a raggiungere l'indice del termine del prodotto mentre gli indici delle b diminuiscono: ad esempio nel quarto termine (a1b4 + a2b3 + a3b2 + a4b1) gli indici di a aumentano da 1 a 4 mentre gli indici di b diminuiscono da 4 ad 1 nel decimo termine gli indici di a aumenteranno da 1 a 10 mentre quelli di b diminuiranno da 10 ad 1 (a1b10 + a2b9 + a3b8 + a4b7+ a5b6+ a6b5+ a7b4+ a8b3+ a9b2+ a10b1) Vale il teorema di Abel: se convergono sia le serie componenti che la serie prodotto allora la somma della serie prodotto e' uguale al prodotto delle somme delle serie componenti Per finire possiamo dire (senza dimostrarlo) che il prodotto di due serie assolutamente convergenti e' ancora una serie assolutamente convergente, mantre il prodotto di due serie semplicemente convergenti non sempre e' convergente: cioe' il prodotto conserva la convergenza assoluta, ma non la convergenza semplice |
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