sviluppo Risolvere e discutere la seguente equazione     a + b a + b - x   +   2ab a2 + 2ab + b2 - x2   =   a + b a + b + x scompongo il denominatore raggruppamenti a2 + 2ab + b2 - x2 = (a + b)2 - x2 = (a + b + x)(a + b - x)     a + b a + b - x   +   2ab (a + b - x)(a + b + x)   =   a + b a + b + x evidenzio le condizioni C.R.   x ≠ ± (a + b)   valgono le condizioni di realta' a + b - x ≠ 0   →   x ≠ a + b a + b + x ≠ 0   →   x ≠ - a - b faccio il minimo comune multiplo (a + b - x)(a + b + x); divido il m.c.m. per ogni denominatore e moltiplico il risultato per il relativo numeratore     (a + b)(a + b + x) + 2ab (a + b - x)(a + b + x)   =   (a + b)(a + b - x) (a + b - x)(a + b + x) applico il secondo principio per eliminare i denominatori     (a + b)(a + b + x) + 2ab = (a + b)(a + b - x) calcolo il prodotto     a2 + ab + ax + ab + b2 + bx + 2ab = a2 + ab - ax + ab + b2 - bx porto i termini con la x prima dell'uguale, quelli senza dopo l'uguale; che salta l'uguale cambia di segno     ax + bx + ax + bx = a2 + ab + ab + b2 - a2 - ab - ab - b2 - 2ab sommo i termini silmili     2ax + 2bx = -2ab prima dell'uguale raccolgo 2x     2x(a + b) = -2ab Se a + b ≠ 0 cioe' a ≠ -b posso applicare il secondo principio ed ottengo     2x(a + b) 2(a + b)   =   -2ab 2(a + b)   →   x   =   - ab a + b    se a + b = 0 abbiamo due possibilita' se a = 0 e b = 0 allora sostituendo nell'equazione ottengo 0x = 0 equazione indeterminata se a ≠ 0 e b ≠ 0 e a = -b allora sostituendo nell'equazione ottengo 0x = ab equazione impossibile Per le condizionidi realta', perche' la soluzione x = - ab a + b sia accettabile dovra' essere - ab a + b ≠ ± (a + b) raccogliendo i risultati Se a + b ≠0 cioe' a ≠ -b               ab x = -         a + b se a = 0 e b = 0 allora sostituendo nell'equazione ottengo 0x = 0 equazione indeterminata se a ≠ 0 e b ≠ 0 e a = -b allora sostituendo nell'equazione ottengo 0x = ab equazione impossibile ab se -      a + b = ± (a + b) la soluzione trovata non e' accettabile perche' contraria alle condizioni di realta' Nota: si potrebbe risolvere l' ultima uguaglianza per esplicitare le condizioni per la a, ma di solito a questo livello di studio questo non si richiede, anche perche' servirebbero le equazioni di secondo grado; quindi, per ora, saltiamo