Se ora volessimo calcolare
(a+b)⁸ =
potremmo sempre calcolarlo in ordine facendo tutte le potenze precedenti, ma pensa che noia se dovessi calcolare ad esempio
(a+b)²⁰ =
ci vorrebbero ore!
Un grande Matematico Newton ha trovato il modo per calcolare la potenza senza calcolare tutte le potenze precedenti: il metodo e' un po' laborioso ma, visto il tempo che ci fa risparmiare, ne vale certo la pena.
Vediamolo assieme, passaggio per passaggio, sei pronto?
Proviamo a calcolare
(a+b)⁸ =
Prima di tutto osserviamo che il primo termine del risultato sara'
1a⁸


per il secondo termine
consideriamo il primo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del primo termine
1
e l'esponente della potenza di a nel primo termine
8
e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato
essendo il primo termine devo dividere per 1 il risultato e'
(1·8)/1=8
allora il secondo termine sara'
8a⁷b
proseguendo faccio sempre lo stesso:


per il terzo termine
consideriamo il secondo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del secondo termine
8
e l'esponente della potenza di a nel secondo termine
7
e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato
essendo il secondo termine devo dividere per 2 il risultato e'
(8·7)/2=28
allora il terzo termine sara'
28a⁶b²



per il quarto termine
consideriamo il terzo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del terzo termine
28
e l'esponente della potenza di a nel terzo termine
6
e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato
essendo il terzo termine devo dividere per
3
il risultato e'
(28·6)/3=56
allora il quarto termine sara'
56a⁵b³


per il quinto termine
consideriamo il quarto termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del quarto termine
56
e l'esponente della potenza di a nel quarto termine
5
e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato
essendo il quarto termine devo dividere per
4
il risultato e'
(56·5)/4=70
allora il quinto termine sara'
70a⁴b⁴


per il sesto termine
consideriamo il quinto termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del quinto termine
70
e l'esponente della potenza di a nel quinto termine
4
e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato
essendo il quinto termine devo dividere per
5
il risultato e'
(70·4)/5=56
allora il sesto termine sara'
56a³b⁵


per il settimo termine
consideriamo il sesto termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del sesto termine
56
e l'esponente della potenza di a nel sesto termine
3
e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato
essendo il sesto termine devo dividere per
6
il risultato e'
(56·3)/6=28
allora il settimo termine sara'
28a²b⁶


per l'ottavo termine
consideriamo il settimo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del settimo termine
28
e l'esponente della potenza di a nel settimo termine
2
e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato
essendo il settimo termine devo dividere per
7
il risultato e'
(28·2)/7=8
allora l'ottavo termine sara'
8a¹b⁷


per il nono termine
consideriamo l'ottavo termine e facciamo il prodotto fra il coefficiente del settimo termine
8
e l'esponente della potenza di a nell'ottavo termine
1
e dividiamo il risultato per il posto che occupa il termine considerato
essendo l'ottavo termine devo dividere per
8
il risultato e'
(8·1)/8=1
allora il nono termine sara'
1a⁰b⁸=b⁸
e non posso piu' proseguire.