METODO DI TARTAGLIA PER CALCOLARE LA POTENZA DI UN BINOMIO
Proviamo a scrivere le potenze del binomio che conosciamo
(a+b)0 = 1
(a+b)1 = a + b
(a+b)2
= a2 +2ab +b2
(a+b)3
=a3
+3a2
b+3ab2
+b3
Possiamo subito osservare che tutti i risultati sono polinomi ordinati secondo la
potenza decrescente della lettera a e secondo la potenza crescente
della lettera b,
sono anche completi ed infine la potenza del primo termine corrisponde alla potenza del binomio;
quindi se devo calcolare
(a+b)4=
per la parte letterale (senza mettere i coefficienti numerici) dovro' fare
a4+
a3b+
a2b2+
ab3+
b4
ora come trovare i coefficienti numerici? Proviamo a scrivere quelli che abbiamo
(a+b)0= 1
(a+b)1= 1 1
(a+b)2=
1 2 1
(a+b)3=
1 3 3 1
I numeri sono distribuiti su di un triangolo (
Triangolo di Tartaglia) ed ogni numero sotto e'
somma dei 2 numeri sopra (se sono in due) oppure vale 1; quindi si puo' pensare che se devo fare
(a+b)4=
i numeri saranno
(a+b)0= 1
(a+b)1= 1 1
(a+b)2=
1 2 1
(a+b)3=
1 3 3 1
(a+b)4=
1 4 6 4 1
(Fai click qui se hai bisogno di ulteriori spiegazioni)
Quindi avrai
(a+b)4=
a4+
4a3b+
6a2b2+
4ab3+
b4
Per vedere se hai capito bene fai da solo
(a+b)5=
e quando hai finito confronta il risultato
Come utilizzare queste regole? Facciamo un esempio:
se devo calcolare
(2x+3y)4=
so che la regola vale
(a+b)4=
a4+
4a3b+
6a2b2+
4ab3+
b4
al posto di a
ho 2x
ed al posto di b ho
3y
quindi vado a sostituire
(2x+3y)4=
(2x)4+
4(2x)3(3y)+
6(2x)2(3y)2+
4(2x)(3y)3+
(3y)4=
ed eseguendo i calcoli:
=16x4+
96x3y
+216x2y2
+216xy3
+81y4
se hai bisogno di vedere i calcoli fai click
qui
Fai i seguenti esercizi poi confronta con quelli che ho sviluppato io
(x-2y)4=
soluzione
(2x+y)5=
soluzione
(3x-y)5=
soluzione
(2a2-3b)5=
soluzione
(x-2y)6=
soluzione
(2x2+y3)6=
soluzione
esercizi sulla potenza intera del binomio
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