Mediane di un triangolo
Chiamiamo l'angolo BMA, di conseguenza l'angolo CMA sara'
180-
Applichiamo il teorema di Carnot ai
triangoli BMA e CMA ricordando che essendo AM la
mediana sara'
Applico al triangolo BMA
AB2 = AM2 + BM2 -2 AM BM cos
sostituisco ai lati il loro valore
c2 = ma2 +
|
( |
a --- 2 |
)2 |
- 2 ma |
a --- 2 |
cos |
c2 =
ma2 +
|
a2 ---- 4 |
- a ma
cos |
Ora applico il teorema di Carnot al triangolo CMA
AC2 = AM2 + CM2 -2 AM CM cos(180- )
sostituisco ai lati il loro valore
b2 = ma2 +
|
( |
a --- 2 |
)2 |
- 2 ma |
a --- 2 |
cos(180- ) |
Calcolando e ricordando che cos(180- ) = - cos
b2 =
ma2 +
|
a2 ---- 4 |
+ a ma
cos |
Ora sommo termine a termine le due uguaglianze trovate
b2 + c2
=
ma2 +
|
a2 ---- 4 |
- a ma
cos |
+ ma2 +
|
a2 ---- 4 |
+ a ma
cos |
e sommando i termini simili trovo
Ora da questa uguaglianza ricavo ma cioe' il valore della
mediana
2 ma2
= b2 + c2
- |
a2 ---- 2 |
ma2 = |
b2 ----- 2 |
c2 + ----- - 2 |
a2 ---- 4 |
ma2 = |
2b2 +
2 c2 - a2
 4 |
Estraggo la radice ed ottengo la formula finale
Siccome poso fare lo stesso ragionamento partendo da uno qualunque dei vertici
del triangolo otteniamo le formule delle tre mediane del triangolo
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