Teorema di Carnot o teorema di Pitagora generalizzato Questo e' uno di quei pochi teoremi che e' assolutamente necessario sapere e saper applicare Equivale al secondo criterio di congruenza: conoscendo due lati e l'angolo compreso posso trovare il terzo lato esempio Teorema: In ogni triangolo il quadrato di un lato e' uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto degli stessi lati per il coseno dell' angolo fra essi compreso a2 = b2 + c2 - 2bc cos b2 = a2 + c2 - 2ac cos c2 = a2 + b2 - 2ab cos Dimostriamo la prima relazione prendiamo le relazioni delle proiezioni a = b cos + c cos b = a cos + c cos c = a cos + b cos moltiplichiamo la prima relazione per a moltiplichiamo la seconda relazione per -b moltiplichiamo la terza relazione per -c   a2 = ab cos + ac cos -b2 = -ab cos - bc cos -c2 = -ac cos - bc cos Sommiamo tra loro tutti i termini prima dell'uguale e tutti i termini dopo l'uguale: essendo delle uguaglianze il risultato e' ancora un'uguaglianza a2 - b2 -c2 = ab cos + ac cos -ab cos - bc cos -ac cos - bc cos sommo i termini simili a2 - b2 -c2 = -2bc cos e quindi a2 = b2 + c2 - 2bc cos come volevamo Anche le altre relazioni si dimostrano nello stesso modo: prova a farle da solo per esercizio e poi confronta i risultati: per la seconda moltiplica la prima per -a la seconda per b e la terza per -c per la terza moltiplica la prima per -a, la seconda per -b e la terza per c dimostrazione della seconda dimostrazione della terza Equivale anche al terzo criterio di congruenza dei triangoli: conoscendo i tre lati posso trovare gli angoli con le formule inverse cos = - a2 + b2 + c2 ----------------- 2bc cos = a2 - b2 + c2 ----------------- 2ac cos = a2 + b2 - c2 ----------------- 2ab vediamo un semplice esempio