valore attuale di una rendita immediata posticipata

valore attuale di una rendita immediata posticipata

Consideriamo la rata fissa dell'importo di 1 €; per qualunque altro importo bastera' poi moltiplicare tale importo per il nostro risultato

Consideriamo sulla retta dei tempi una rendita immediata posticipata di rata 1 € e di durata n anni

i numeri sotto la retta indicano i periodi: essendo posticipata la rata e' pagata alla fine del periodo

Il primo euro sara' versato alla fine del primo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per 1 periodo quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)^-1€ = v
Il secondo euro sara' versato alla fine del secondo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per 2 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)^-2€ = v²
Il terzo euro sara' versato alla fine del terzo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per 3 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)^-3€ = v³
...............................
...............................
Il quartultimo euro sara' versato alla fine del quartultimo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per n-3 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)^-(n-3)€ = v^n-3
Il terzultimo euro sara' versato alla fine del terzultimo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per n-2 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)^-(n-2)€ = v^n-2
Il penultimo euro sara' versato alla fine del penultimo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per n-1 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)^-(n-1)€ = v^n-1
L'ultimo euro sara' versato alla fine dell'ultimo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per n periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)^-n€ = vⁿ
per semplificare alla fine ho sottointeso gli €

Raccogliendo per calcolare il montante dovremo eseguire la somma
= v + v² + v³ + ............... + v^n-3 + v^n-2 + v^n-1 + vⁿ
Tra tutti i termini metto in evidenza v
= v( 1 + v + v² + ............... + v^n-3 + v^n-2 + v^n-1 + vⁿ)
Si vede ora che, dentro parentesi si tratta di una progressione geometrica di n termini di ragione v e quindi, applicando la formula della somma essendo la ragione v minore di 1 utilizzo la seconda formula

=v ·

( 1·

vⁿ - 1

v - 1

) = v·

1 - vⁿ

1 - v

possiamo rendere questa formula un po' piu' semplice tenendo presente che vale: v=1/u e quindi u·v = 1

1

u

vⁿ - 1

v - 1

moltiplico numeratore con numeratore e denominatore con denominatore

vⁿ - 1

uv - u

vⁿ - 1

1 - u

vⁿ - 1

1 - (1+i)

vⁿ - 1

1 - 1-i

vⁿ - 1

-i

cambio di segno sopra e sotto, poi sopra scrivo prima il positivo poi il negativo

-vⁿ + 1

+i

1 - vⁿ

i

Quindi la formula finale e'

1 - vⁿ

i

od anche ricordando che vale vⁿ = (1+i)^-n

=	1 - (1+i)^-n i

Questa e' una formula molto importante e va ricordata a memoria;

possiamo trasformare la formula in altre forme equivalenti anch'esse molto importanti
Moltiplicando numeratore e denominatore della penultima formula per uⁿ = (1+i)ⁿ otteniamo

uⁿ

uⁿ

1 - vⁿ

i

uⁿ(1 - vⁿ)

i·uⁿ

uⁿ - uⁿvⁿ

i uⁿ

e ricordando che uⁿ vⁿ = 1

uⁿ - 1

i uⁿ

(1+i)ⁿ - 1

i(1+i)ⁿ

Possiamo notare che, moltiplicando per uⁿ il numeratore, lo abbiamo spostato nel tempo in avanti per n anni ottenendo cosi' il valore del montante di una rendita posticipata di periodo n anni, cioe'

(1+i)ⁿ - 1

i(1+i)ⁿ

1

(1+i)ⁿ

(1+i)ⁿ - 1

i

e quindi, sostituendo i simboli relativi ai valori

vⁿ·

quindi possiamo ottenere il valore attuale di una rendita posticipata spostando indietro nel tempo il montante della stessa rendita

Noi di solito leggeremo l'importo dei valori attuali sulle tavole, interpolando se il tasso non e' compreso fra quelli tabulati; nel caso i dati siano oltre i limiti delle tavole occorre utilizzare i logaritmi ed in tal caso utilizzeremo le formule che abbiamo evidenziato: ne parleremo piu' diffusamente negli esercizi

Vediamo anche qui un semplice esempio
trovare il valore attuale di una rendita posticipata di 10 anni di rata 2000 € al tasso i = 0,02
dati:
R = 2000 €
i = 0,02
n = 10
Cerco sulle tavole "valore attuale della rendita unitaria immediata posticipata. valori di

"
per i=0,02 e n=10 trovo il valore 8,98258501, quindi avro' il montante
8,98258501·2000 € = 17965,17002 €
che arrotondo a 17965,17 €