valore attuale di una rendita immediata anticipata

valore attuale di una rendita immediata anticipata

Consideriamo la rata fissa dell'importo di 1 €; per qualunque altro importo bastera' poi moltiplicare tale importo per il nostro risultato

Consideriamo sulla retta dei tempi una rendita immediata anticipata di rata 1 € e di durata n anni

i numeri sotto la retta indicano i periodi: essendo la rendita anticipata la rata e' pagata all'inizio del periodo

Il primo euro sara' versato all'inizio del primo periodo e e avra' valore 1€ = 1
Il secondo euro sara' versato all'inizio del secondo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per per 1 periodo quindi avra' valore 1·(1+i)^-1€ = v
Il terzo euro sara' versato all'inizio del terzo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per 2 periodi quindi avra' valore 1·(1+i)^-2€ = v²
...............................
...............................
Il quartultimo euro sara' versato all'inizio del quartultimo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per n-4 periodi quindi avra' valore 1·(1+i)^-(n-4)€ = v^n-4
Il terzultimo euro sara' versato all'inizio del terzultimo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per n-3 periodi quindi avra' valore 1·(1+i)^-(n-3)€ = v^n-3
Il penultimo euro sara' versato all'inizio del penultimo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per n-2 periodi quindi avra' valore 1·(1+i)^-(n-2)€ = v^n-2
L'ultimo euro sara' versato all'inizio dell'ultimo periodo e dovra' essere spostato indietro nel tempo per n-1 periodi quindi avra' valore 1·(1+i)^-(n-1)€ = v^n-1
per semplificare alla fine ho sottointeso gli €

Raccogliendo per calcolare il montante dovremo eseguire la somma
= 1 + v + v² + ............... + v^n-4 + v^n-3 + v^n-2 + v^n-1
Si vede ora che si tratta di una progressione geometrica di n termini di ragione u e quindi, applicando la formula della somma Essendo la ragione v minore di 1 utilizzo la seconda formula

= 1·

1 - vⁿ

1 - v

=	1 - vⁿ 1 - v

possiamo trasformare questa formula in altre forme equivalenti anch'esse molto importanti

Vediamo un semplice esempio
trovare il montante di una rendita posticipata di 10 anni di rata 2000 € al tasso i = 0,02
dati:
R = 2000 €
i = 0,02
n = 10
Cerco sulle tavole "montante della rendita unitaria posticipata. valori di

"
per i=0,02 e n=10 trovo il valore 10,94972100, quindi avro' il montante
10,94972100·2000 € = 21899,442 €