Introduzione alla formula di Taylor La formula di Taylor si propone di trasformare una funzione continua e derivabile (almeno di ordine n) in una somma di funzioni polinomiali Partiamo dal teorema di Lagrange applicato alla funzione continua e derivabile f(x) all'interno dell'intervallo [a,x] f(x) - f(a) --------------- = f'(c) x - a Che posso anche scrivere come f(x) = f(a) + (x-a)f'(c) c'e' da dire che quando x tende ad a il termine (x-a)f'(c) diventa infinitesimo (e, intuitivamente, posso scambiare c con x cioe' f'(x)=f'(c) ). Se la funzione f'(x) nell'intervallo [a,x] e' continua e derivabile all'interno dell'intervallo posso ancora applicare il teorema di Lagrange ed ottengo f'(x) - f'(a) --------------- = f''(c) x - a e siccome posso scambiare c ed x f'(c) - f'(a) --------------- = f''(c) x - a Che posso anche scrivere come f'(c) = f'(a) + (x-a)f''(c) Andando a sostituire nella prima formula ottengo: f(x) = f(a) + (x-a)[f'(a) + (x-a)f''(c)] cioe' eseguendo i calcoli f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + (x-a)2f''(c) Posso ripetere il procedimento se f''(x) e' continua e derivabile ed ottengo f''(c) - f''(a) --------------- = f'''(c) x - a Che posso anche scrivere come f''(c) = f''(a) + (x-a)f'''(c) Andando a sostituire nella prima formula ottengo: f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + (x-a)2[f''(a) + (x-a)f'''(c)] cioe' eseguendo i calcoli f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + (x-a)2f''(a) + (x-a)3f'''(c) Posso procedere ancora finche' la funzione e' continua e derivabile f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + (x-a)2f''(a) + (x-a)3f'''(a) + (x-a)4f IV(c) .................................................. il termine con f IV(c) si chiama resto nella forma di Lagrange Nel nostro procedimento pero' non abbiamo tenuto conto delle costanti: derivando una costante si ottiene il valore zero. Per capire quali costanti sono necessarie consideriamo l'espressione trovata: essa deve sempre essere un'uguaglianza se considero x=a ottengo dovro' avere i valori f(a) per la funzione f'(a) per la derivata prima f''(a) per la derivata seconda f'''(a) per la derivata terza ................. cioe' se eseguo questo procedimento per l'ultima espressione considerata ho che per avere l'uguaglianza il termine con (x-a)2f''(a) dovra' essere fratto 2 perche' altrimenti facendo la derivata seconda non otterrei f(a) ma 2f(a) similmente il termine con (x-a)3f''(a) dovra' essere fratto 3·2=6 se hai bisogno di vedere questi calcoli piu' in particolare Ottengo quindi la formula (fino alla derivata quarta) (x-a) (x-a)2 (x-a)3 (x-a)4 f(x) = f(a) + ------- f'(a) + ------- f''(a) + ------- f'''(a) + --------- fIV(c) 1 1·2 1·2·3 1·2·3·4