divisione fra polinomi: metodo canonico

DIVISIONE FRA POLINOMI
METODO CANONICO

In matematica per poter procedere quando abbiamo un nuovo argomento possiamo usare due metodi diversi:
Il primo consiste nel rifarsi a qualcosa di gia' fatto simile a cio' che si vuol fare
Il secondo nell'usare il buon senso ed usare le regole piu' "logiche"
Non e' troppo chiaro? Forse questo aneddoto potra' farti capire meglio
Ora noi sappiamo gia' fare la divisione fra numeri naturali, quindi per fare la divisione fra polinomi ci rifaremo a quella che sappiamo gia' fare:
Ad esempio se devo fare 256:12 come procedo?

2 5 6 1 2

2 4 2 1

// 1 6

1 2

// 4

Il 12 nel 25 ci sta 2 volte, scrivo il 2 nel risultato poi faccio 2 per 12 = 24 e lo riporto sotto il 25. Sottraggo 24 da 25 e scrivo 1, riporto il 6 e ricomincio da capo
Il 12 nel 16 ci sta 1 volta, scrivo 1 nel risultato poi moltiplico 1 per 12 = 12 e lo riporto sotto il 16. Sottraggo 12 da 16 e scrivo 4. Poiche' non posso riportare piu' termini questo e' il resto.

Quindi posso scrivere
256 : 12 da' 21 con resto di 4
o meglio, in forma di uguaglianza
256 = 12 · 21 + 4

Nei polinomi faremo nello stesso modo: proviamo ad esempio ad eseguire la seguente divisione:
(2x²+5x+6):(x+2)
Procediamo come per la divisione normale

2x² +5x +6 x +2

-2x ² -4x 2x +1

// +x +6

-x -2

// +4

Intanto il divisore e' di due termini x+2 quindi anche nel dividendo consideriamo i primi due termini 2x²+5x , poi invece di fare il 12 sta nel 25 facciamo il primo termine sta nel primo termine cioe' 2x ² : x = 2x e scriviamo il risultato. Ora moltiplichiamo il risultato per il divisore e, siccome quello che viene dovremo sottrarlo, ma nei polinomi si fa la somma algebrica, quindi per non fare la sottrazione cambiamo ogni termine di segno: 2x·x=2x² lo cambio di segno -2x² e lo scrivo sotto il primo poi faccio 2x·2=4x lo cambio di segno -4x e lo scrivo sotto il secondo
Ora faccio la somma algebrica e scrivo il risultato: il primo termine deve sempre andare via mentre nel secondo termine avro' 5x-4x = x.
Vicino alla x sposto un altra cifra della divisione, in questo caso il 6 e ricomincio come prima

Divido il primo termine per il primo termine cioe' x:x=1 e lo scrivo nel risultato, poi moltiplico il valore che ho ottenuto per il divisore e cambio di segno:1·x=cambio di segno -x e lo scrivo sotto il primo poi calcolo 1·2=2cambio di segno -2 e lo scrivo sotto il secondo poi faccio la somma algebrica.
Il primo va via ed il secondo viene 4, questo e' il resto. Raccogliendo:
(2x²+5x+6):(x+2) da' come quoziente 2x+1 e come resto 4
o meglio puoi scrivere
(2x²+5x+6)= (x+2)·(2x+1) +4

Piuttosto complicato vero? Se vuoi puoi puoi seguire i calcoli uno ad uno

Prova adesso a fare le seguenti divisioni
(6x²-5x+4):(2x+3)=     Calcoli
(4x³-7x²-4x+2):(x-3)=      Calcoli
(2a⁴+2a³-13a² +17a-6):(a²+3a-2)=     Calcoli

Naturalmente, avendo preso il metodo della divisione dai numeri ed essendo i numeri dei polinomi ordinati potro' eseguire la divisione solamente fra due polinomi ordinati. E se non sono ordinati dovro' ordinarli. Se non e' possibile ordinarli non e' possibile fare la divisione: vediamo due esempi
(x⁵ - 32):(x -2)= Calcoli
(x⁶ - 64):(x² -4)= Calcoli
(Fare anche divisione con la virgola)

esercizi sul metodo canonico per la divisione fra polinomi