Equazioni risolubili con artifici (opportune sostituzioni) Qui purtroppo non c'e' niente da fare: sono equazioni che riesci a risolvere solamente con l'esperienza e quindi saprai come comportarti quando avrai fatto esercizi,esercizi ed esercizi Vediamo qualche esempio molto semplice e limitato ad opportune sostituzioni, ricordando che non e' possibile considerare tutti i casi possibili Devi vedere come prima cosa se e' possibile suddividere le incognite in gruppi in modo che un gruppo sia il quadrato dell'altro: in questo modo puoi traformare la tua equazione in un'equazione di secondo grado: risolvere (x2 - 4x +8)2 - x2 + 4x = 28 se vado a sviluppare ottengo un'equazione di quarto grado Osservo che prima dell'uguale il termine dentro parentesi e' quasi simile (a parte il segno) a quello fuori di parentesi: manca il numero 8, lo estraggo dal termine noto (x2 - 4x +8)2 - x2 + 4x = 20 + 8 (x2 - 4x +8)2 - x2 + 4x - 8 = 20 adesso metto in evidenza il meno (x2 - 4x +8)2 - (x2 - 4x + 8) = 20 Ora posso operare la sostituzione x2 - 4x + 8 = y e la mia equazione diventa y2 - y = 20 y2 - y - 20 = 0 ottengo le soluzioni         calcoli y1 = -4                   y2 = 5 adesso sostituisco i valori trovati alla y e devo risolvere le due equazioni x2 - 4x + 8 = -4                   x2 - 4x + 8 = 5 Risolvo la prima x2 - 4x + 8 = -4 x2 - 4x + 12 = 0 ottengo le soluzioni         calcoli x1 = 2 - 2i2                   x2 = 2 + 2i2 Risolvo la seconda x2 - 4x + 8 = 5 x2 - 4x + 3 = 0 ottengo le soluzioni         calcoli x1 = 1                   x2 = 3 Ho quindi le soluzioni x1 = 1        x2 = 3        x3 = 2 - 2i2        x4 = 2 + 2i2 Naturalmente potevo eseguire i calcoli e poi risolvere l'equazione di quarto grado con il metodo delle equazioni abbassabili di grado, ma qui ti ho mostrato il metodo che puoi applicare anche quando non puoi utilizzare altri metodi: pensa se le soluzioni fossero state 3,   27,   3/7 ,   5/4 in tal caso e' un po' difficile usare il metodo di abbassare di grado   lo stesso ragionamento vale anche per l' equazione successiva che, se facessi i calcoli, si traformerebbe in una equazione trinomia di sesto grado Quando hai delle frazioni e' utile cercare di raggruppare tutte le incognite in termini uguali in modo da poterli sostituire mediante una y: risolvere: 7   ---------- + x3 - 1 7x3 = 57 siccome sotto abbiamo x3-1 vediamo se possiamo trasformare anche l'altra x in modo che diventi x3-1 siccome davanti ad x3 ho il 7 devo togliere un 7; lo estraggo dal termine noto 7   ---------- + x3 - 1 7x3 = 50 + 7 7   ---------- + x3 - 1 7x3 - 7 = 50 ora metto in evidenza il 7 7   ---------- + x3 - 1 7(x3 - 1) = 50 adesso opero la sostituzione x3 - 1 = y ed ottengo 7   ------ + y 7y = 50 supponendo y diverso da zero posso fare il minimo comune multiplo 7 + 7y2   ------------- = y 50y ------- y elimino i denominatori 7 + 7y2 = 50y 7y2 - 50y + 7 = 0 ottengo le soluzioni         calcoli x1 1 = --------   7                   x2 = 7 adesso sostituisco i valori trovati alla y e devo risolvere le due equazioni x3 - 1 = 1 --- 7                   x3 - 1 = 7 Risolvo la prima x3 - 1 = 1 --- 7 x3 = 1 --- 7 + 1 x3 = 8 --- 7 Cerco sia le radici reali che complesse x3 - 8 --- 7 = 0 considero il polinomio associato e lo scompongo come differenza di cubi x3 8 - --- = 7 (x - 2 ---- 7 ) ( x2 2x + ---- + 7 4   ------ ) 72 uguagliando a zero devo risolvere le due equazioni x 2 - ---- = 7 0               x2 2x + ---- + 7 4   ------ = 72 0 risolvo la prima ed ottengo una soluzione reale x1 = 2 ---- 7 0 la seconda mi dara' due soluzioni complese e coniugate faccio il minimo comune multiplo x272 + 2x7 + 4   -------------------------- = 72 0 ------ 72 elimino i denominatori x272 + 2x7 + 4 = 0 ottengo le soluzioni         calcoli x2 = -1 + i3 --------- 7                   x3 = -1 - i3 --------- 7 Risolvo la seconda x3 - 1 = 7 x3 = 8 Cerco sia le radici reali che complesse considero il polinomio associato e lo scompongo come differenza di cubi x3 - 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) uguagliando a zero devo risolvere le due equazioni x - 2 = 0           x2 + 2x + 4 = 0 la prima mi da' la soluzione reale x1 = 2 la seconda mi dara' due soluzioni complesse e coniugate x2 + 2x + 4 = 0 ottengo le soluzioni         calcoli x2 = -1 - i3                   x3 = -1 + i3 Ho quindi le 6 soluzioni x1 = 2 ---- 7      x2 = -1 + i3 --------- 7      x3 = -1 - i3 --------- 7      x4 = 2      x5 = -1 - i3      x6 = -1 + i3