Equazioni di secondo grado con parametro


sono esercizi che vengono spesso utilizzati dagli insegnanti soprattutto perche' costringono l'alunno ad utilizzare un tipo di ragionamento "comparativo" possibile solo se ha appreso certe nozioni fondamentali sulle equazioni di secondo grado.

Per risolvere bene questi esercizi devi tener presenti le seguenti equivalenze

Soluzioni coincidenti = b2 - 4ac = 0
Una soluzione nulla Equazione spuria c = 0
Soluzioni opposte
(la somma delle radici vale zero) 		Equazione pura b = 0
Soluzioni inverse
(il prodotto delle radici vale uno)
c
--- = 1
a
il prodotto delle radici vale un numero
ad esempio 5
c
--- = 5
a
La somma delle radici vale un numero
ad esempio 6
b
- ---   = 6
a
questi sono i casi fondamentali: ne puoi aggungere altri combinando questi fra loro: ad esempio
la somma dei quadrati degli inversi delle radici vale 4
sarebbe a dire
1 1
----- + ----- = 4
x12 x22
faccio il m.c.m. prima dell'uguale
x22 + x12
---------------- = 4
x12x22
sopra aggiungo e tolgo il doppio prodotto 2x1x2 per farlo diventare un quadrato, sotto posso considerarlo come quadrato del prodotto

x12 + x22 + 2x1x2 - 2x1x2
---------------------------------- = 4
(x1 x2)2


(x1 + x2)2 - 2x1x2
--------------------------- = 4
(x1 x2)2


a questo punto posso sostituire alla somma ed al prodotto delle radici le loro espressioni -b/a e c/a e quindi impostare la relazione
Vediamo ora alcuni esercizi tipici
esercizio 1
data l'equazione
(k+1)x2 -2kx + k - 2 = 0
trovare il valore di k affinche'
  • l'equazione abbia radici coincidenti        soluzione
  • l'equazione abbia radici opposte        soluzione
  • l'equazione abbia radici inverse        soluzione
  • la somma degli inversi delle radici valga 3        soluzione

esercizio 2
data l'equazione
kx2 -(k-2)x + 1 = 0
trovare il valore di k affinche'
  • la somma delle radici valga 5        soluzione
  • il prodotto delle radici valga 6        soluzione
  • la somma dei quadrati delle radici valga 5        soluzione
  • x1 + 3x2 = 7        soluzione

esercizio 3
data l'equazione
kx2 -kx + k + 2 = 0
trovare il valore di k affinche'
  • il rapporto delle radici valga 1/2        soluzione
  • una radice sia tripla dell'altra        soluzione
  • una radice sia uguale al reciproco dell'altra        soluzione
  • la somma dei quadrati degli inversi delle radici valga 4        soluzione

Una volta capito il meccanismo diventano esercizi abbastanza normali ed anche noiosi;
Sarebbe anche possibile risolverli tutti in modo automatico; vedi nota nella quarta parte del secondo esercizio